Perpendiculares tiradas de um ponto de circunferência
para os lados de um triângulo nela inscrito têm pés colineares


TEOREMA DE SIMSON: Se de um ponto tomado sobre a circunferência circunscrita a um triângulo baixarmos perpendiculares a cada lado do triângulo, os pontos assim obtidos estão em linha reta
PROBLEMA: Demonstrar que são colineares os pés das perpendiculares aos lados de um triângulo tiradas de qualquer ponto da circunferência circunscrita

F.G.-M., Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, (http://gallica.fr)- Théorème de Simson. 22. Si d'un point pris sur la circonférence circonscrite à un triangle, on abaisse des perpendiculaires sur chaque côté du triangle, les trois points ainsi obtenus sont en ligne droite.
Ce théorème s'énonce quelque fois comme il suit:
Les projections d'un point quelconque de la circonférence circonscrite à un triangle, sur chaque côté de ce triangle, sont en ligne droite.



$\;\fbox{n=1}:\;$ Apresentam-se um triângulo $\;[ABC],\;$ a circunferência $\;(ABC)\;$ e um ponto $\;P\;$ nelaa
$\;\fbox{n=2}:\;$ As perpendiculares tiradas por $\;P\;$ a cada uma das retas $\;BC, \;CA, \; AB\;$ do trilátero $\;ABC,\;$ determinam os respetivos pés $\;D, \;E, \;F.\;$
$\;\fbox{n=3}:\;$ E, para a posição de $\;D, \;E, \;F\;$ da nossa figura inicial,ficam determinados dois quadriláteros convexos $\;[FAEP],\;[PCDE]\;$ que são inscritíveis, porque
Para outras posições de $\;P\;$ sobre a circunferência $\;(ABC),\;$ teremos naturalmente de considerar outros quadriláteros, mas serão análogos os raciocínios a fazer para provar que os pontos $\;D,\;E, \;F\;$ são colineares.


13 fevereiro 2018, Criado com GeoGebra



Fixemo-nos no caso da nossa figura inicial, em que $\;P\;$ está no arco $\;(CA)\;$ da circunferência $\;(ABC);\;$ e $\;D \in [BC], \;E \in [AC], \; F \in \dot{B}A \setminus [BA].\;$
Nestas condições, podemos dizer que $\;D, E, F\;$ são colineares se e só se $\;D\hat{E}C = F\hat{E}A, \;$ já que, como o vértice $\;E\;$ é ponto de uma reta $\;AC\;$ dada, aqueles ângulos só são iguais se forem verticalmente opostos, i.e. os segundos lados estiverem sobre uma mesma reta.
Finalmente $\;\fbox{n=4}:\;$ Apresenta-se a reta onde incidem os pés das perpendiculares sobre cada um dos lados de triângulo tiradas por um ponto $\;P\;$ da circunferência circunscrita ao triângulo. A cada posição do ponto $\;P\;$ na circunferência corresponderá uma reta a que chamamos reta de Simson (ou de Wallace?)