Um retângulo divide-se em figuras equivalentes com vértice comum num incentro.

De um dado retângulo $\;ABCD\;$ tomemos uma das diagonais, por exemplo, $\;AC.\;$ Se designarmos por $\;I\;$ o incentro do triângulo $\;[ABC]\;$, prova-se que o retângulo de diagonal $\;DI\;$ tem metade da área de $\;[ABCD].\;$
  1. Na nossa construção dinâmica, partimos de um retângulo $\;[ABCD].\;$

    Recorremos à barra de navegação dos passos da construção que se mostra logo abaixo da janela de visualização. Poderá sempre reiniciar a construção clicando no botão na direita alta da janela.

    9 abril 2017, Criado com GeoGebra

  2. A diagonal $\;AC\;$ do retângulo $\;ABCD\;$ divide-o em dois triângulos retângulos iguais (e equivalentes) $\;ABC\;$ e $\;ACD\;$.
  3. Determinado o centro $\;I\;$ do círculo inscrito no triângulo $\;ABC,\;$ como intersecção das bissetrizes dos ângulos do triângulo, determinámos também os pés $\;E, \;F\;$ das perpendiculares tiradas por $\;I\;$ a $\;AB\;$ e a $\;BC\;$ que são pontos de tangência do incírculo.
  4. Determinamos ainda os pontos de intersecção dessas perpendiculares tiradas por $\;I\;$ com os lados $\;CD\;$ e $\;DA\;$ que designamos por $\;H\;$ e $\;K\;$ respetivamente. Temos já os quatro vértices do retângulo de diagonal $\;DI\;$ a que se refere o enunciado: $\; H, \;I, \; K, \;D.\;$
  5. O retângulo $\;HIKD\;$ tem por área $\;KI \times HI\;$
  6. Sendo $\;G\;$ o ponto de tangência do incírculo $\;(I, \;IE) \;$ de $\;AC\;$ podemos escrever $\; KI=AE=AG \;\;\; \mbox{e}\;\;\; HI=CF=CG.\;$
    Ora, como vimos na entrada anterior, $\mbox{Área de}\;\; [ABC]= AG \times GC. \;$ Podemos assim concluir que $$\mbox{Área de}\;\;[ABC]= AG \times GC = KI \times IH =\mbox{Área de}\;\;[DHIKD] = \frac{1}{2}\mbox{Área de}\;\; [ABCD]$$
  7. A seguir ilustramos, com recurso a isometrias, que $\;[DHIK]\;$ é equivalente a $\;[ACD],\;$ confirmando que a área de $\;[JIL]\;$ igual à soma das áreas de $\;[ALK]\;$ e $\;[GHJ]:\;$ $$\; \mbox{Área de}\;\; [GIL] =\mbox{Área de}\;\; [AKL]\;$$
  8. Fazendo variar o valor de $\;m \;$ no cursor que encima a janela de visualização ou o botão de animação na esquerda baixa, logo acima da barra de navegação, poderá verificar igualdades e equivalências referidas e a referir.
  9. Do mesmo modo, se ilustra que $$\; \mbox{Área de}\;\; [GIJ] =\mbox{Área de}\;\; [CHJ]\;$$

Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947