A área do triângulo retângulo, a hipotenusa e o incírculo.

Num triângulo retângulo $\;[ABC], \;$ os pontos de tangência com os lados do incírculo, divide cada um dos lados em dois segmentos. Prova-se que o triângulo retângulo é equivalente ao retângulo de dimensões iguais aos segmentos em que fica dividida a hipotenusa.
Ilustramos e demonstramos esse resultado
  1. Na nossa construção dinâmica, partimos de um triângulo $\;[ABC],\;$ retângulo em $\;C\,$.

    Recorremos à barra de navegação dos passos da construção que se mostra logo abaixo da janela de visualização. Poderá sempre reiniciar a construção clicando no botão na direita alta da janela.

    5 abril 2017, Criado com GeoGebra

  2. Começamos por determinar o centro do círculo inscrito no triângulo $\;ABC,\;$ como intersecção das bissetrizes dos ângulos do triângulo
  3. Determinamos os pontos de tangência sobre os lados $\;BC, \; CA, \;AB\;$ pés das perpendiculares aos lados tiradas por$\;I\;$, a saber $\;D, \;E, \;F$ por ordem. Cada um dos lados fica dividido em 2 segmentos: $\;BC=BD+DC, \; CA=CE+EA, \;AB=AF+DFB.\;$ Sabemos que $\;BD=BF, \;$ já que se trata dos segmentos da tangente a uma circunferência $\;(I, r),\;$ com $\;r=ID=IE=IF\;$ tirada por um ponto $\;B\;$ a ela exterior. Do mesmo modo, $\;CD=CE,\; AE=AF.\;$
    A figura também ilustra que o triângulo $\;ABC\;$ fica dividido em 3 quadriláteros $\;EAFI, \; FBDI, \;DCEI\;$ cada um deles composto de dois triângulos retângulos iguais e, por isso, equivalente a um retângulo, por ordem $\;AF \times FI , \; BF \times FI, \; DC \times DI.\;$
    Ou seja $$\mbox{Área de}[ABC] = \mbox{Área de}[EAFI]+ \mbox{Área de}[FBDI] + \mbox{Área de}[DCEI]=\\ =AF \times FI + FB \times FI + DG\times FI = r(AF+FB+DC)$$ que sabemos ser verdade pois já provámos em outra entrada que a área de um triângulo é igual ao produto do seu semiperímetro $\;AF+FB+DC\;$ pelo inraio $\;r=DI.\;$
  4. O problema que nos é apresentado fica bem resolvido geometricamente se figuras equivalentes aos três quadriláteros preenchem o retângulo $\;[GHAF],\;$ em que $\;FG=FB.\;$
  5. Para isso, começamos por apresentar a ilustração óbvia de $\;EAFI, \; FBDI\;$ serem equivalentes a dois retângulos, obviamente representados por $\;KJAF, \;LKFB\;$ em que $\;KF=FI=r.\;$
    Para determinarmos um pedaço de $\;GHAF\;$ que seja equivalente a $\;LKFB\;$ basta considerar o ponto $\;M\;$ de intersecção de $\;AK\;$ com $\;BL\;$ para termos o retângulo $\;ABMN\;$ dividido a meio por $\;AM\;$ para obter $\;ONJK\;$ equivalente a $\;LKFB,\;$ por ser $\;MKL+KAF+LKFB\;$ equivalente a $\;MOK + KJA + ONJK\;$ de onde se retira que $\;LKFB\;$ e $\;ONJK\;$ são equivalentes. O mesmo se poderia fazer para verificar a equivalência de $\;DCEI\;$ com $\;GHNO\;$
Pode deslocar $\;C, \; A, \;B\;$ e verificar que variam as áreas mas se mantêm as equivalências de que tratámos. □
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947