Construir um paralelogramo de área quíntupla de um retângulo dado.

Tomemos um retângulo [ABCD] e no sentido Ilustrar com uma construção, verificar e demonstrar que se obtém um paralelogramo [A’B’C’D’] e demonstrar confirmando visualmente que é invariante a razão entre as áreas dos quadriláteros [ABCD] e [A’B’C’D’].
  1. Na nossa construção dinâmica, partimos de um retângulo $\;[ABCD]\;$ dado.

    Recorremos à barra de navegação dos passos da construção que se mostra logo abaixo da janela de visualização. Poderá sempre reiniciar a construção clicando no botão na direita alta da janela.

    1 abril 2017, Criado com GeoGebra

  2. Começamos por determinar os pontos $$\;A’ : AA’=2AB, \;\;\;\; B’: BB’=2BC, \;\;\;\; C’: CC’=2BC, \;\;\;\; D’:DD’=2DA. \;$$
  3. Traçamos os segmentos $\;BB’, \;CB’, \;DC’, \;AD’, \;A’B’,\;B’C’,\;C’D’, \;D’A’.\;$ Do retângulo $\;[ABCD]\;$ são iguais e perpendiculares os lados opostos $\;BA’=AB=CD=DC’ \;$e, por construção, $\;BB’=2BC=DD’=2DA\;$ são catetos iguais cada um a cada um dos triângulos retângulos $\;[A’B’B]\;$ e $\;[C’D’D]\;$ iguais, portanto. De onde, se retira que $\;A’B’=C’D’. \;$
    Raciocínio análogo para concluirmos que são iguais os triângulos retângulos $\;[B’C’C]\;$ e $\;[D’A’A]\;$ e também que $\;B’C’ =D’A’.\;$
    Como vimos $\;[A’B’C’D’]\;$ é um quadrilátero de lados opostos iguais e, por isso, é um paralelogramo.
  4. A área de $\;[A’B’B]\;$ é $\; \displaystyle \frac{BA’ \times BB’}{2}= \frac{BA \times 2BC}{2}= BA\times BC\;$ que é igual à área do retângulo $\;ABCD\;$
  5. De modo análogo $$\; \displaystyle \mbox{Área}_{[B’C’C] }=\frac{B’C \times CC’}{2} = \frac{BC\times 2CD}{2}=BC \times CD = \mbox{Área}_{[ABCD]}$$
  6. Como vimos antes, são iguais os triângulos $\;[C’D’D]\,$ e $\;[A’B’B]\;$ e, por isso, equivalentes ao retângulo $\;[ABCD]\;$
  7. E, do mesmo modo os triângulos iguais $\;[B’C’C]\;$ e $\;[C’D’D] \;$ têm áreas iguais e iguais à área de $\;[ABCD]\;$
Em conclusão, $$\;\mbox{Área de}[A’B’C’D’] = \mbox{Área de}[A’B’B]+ \mbox{Área de}[B’C’B] +\mbox{Área de}[C’D’D]+\\ +\mbox{Área de}[D’A’A] + \mbox{Área de}[ABCD] = 5\times \mbox{Área de}[ABCD], \;$$ cqd. □
Pode verificar isso de forma pura (?) geometricamente falando, deslocando o cursor $\; \alpha \;$ ou ativando o botão de animação, na esquerda baixa. Só após o passo 4 da construção em que é visível esse cursor.
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947