Inscrever num triângulo [ABC] um retângulo [DEFG] equivalente a um triângulo [AGF]

Enunciado

Num dado triângulo $\;ABC,\;$ inscrever um retângulo $\;DEFG\;$ em que $\;DE\;$ está sobre $\;BC\,$ e que é equivalente ao triângulo $\;AGF.\;$



Na nossa construção dinâmica, partimos de um triângulo $\;[ABC]\;$ dado.

Recorremos à barra de navegação dos passos da construção que se mostra logo abaixo da janela de visualização. Poderá sempre reiniciar a construção clicando no botão na direita alta da janela.

29 março 2017, Criado com GeoGebra

Consideremos um retângulo $\;[DEFG]\;$ com área igual à do triângulo $\;[AGF].\;$ A altura de $\;[AGF]\;$ é igual à altura $\;AH_a\;$ (do triângulo $\,[ABC]\;$) subtraída de $\;EF\;$, que designamos por $\;AK.\;$ A igualdade das áreas de $\;[DEFG]\,$ e $\,[AGF]\;$ permite-nos afirmar que $$ DE \times EF = FG \times \frac{AK}{2}\;\; \mbox{e, por isso,}\;\; 2EF= AK\;\; \mbox{já que}\; \; DE=FG.$$ Assim $$\;AH_a = AK+KH_a = 2KH_a+ KH_a= 3KH_a\;\; \mbox{e} \;\; EF= \frac{AH_a}{3}$$ ilustrado na etapa 2 da construção, em que nos aparecem os vértices do triângulo $\;[AGF]\;$ e do retângulo $\;[DEFG]\;$ que a deslocação dos cursores separadamente (visíveis na etapa 3 da construção) ou o botão da animação nos permite confirmar visualmente.
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947