Triângulo de área máxima numa família de triângulos com dois lados dados

Eununciado.

São dados dois segmentos ou comprimentos $\;a, \;b\;$ de dois lados de uma família de triângulos $\;ABC\;$ tais que $\;BC=a, \; AC=b\;$ De entre os triângulos dessa família, determinar um que tenha área máxima.


Na nossa construção dinâmica, fixamos um ponto $\;C\;$ e a partir dele, fixamos o ponto $\;A: AC=b\;$ e tomamos $\;B\;$ genérico sobre a semicircunferência $\;(C, \, a),\;$ de modo a ficarmos com representantes de todos os possíveis triângulos com lados iguais aos dados (sabemos que $\; 0< B\hat{C}A <180°\;$)
Na construção assim feita, para cada uma das diversas posições de $\;B\;$ verifica-se que $\;BC= a\;$ enquanto $\;BA =c\;$ toma um valor, ou seja, os valores do perímetro e da área de $\;ABC\;$ variam quando $\;B\;$ se desloca em $\;(O,\; a)\;$.

23 março 2017, Criado com GeoGebra

São mostrados os diferentes valores ligados à figura, que permitem conjecturar a forma como variam as áreas de $\;ABC\;$ e quando é atingido o valor máximo.
A demonstração é simples:
A área do triângulo é dada por metade do produto de um qualquer dos lados pela altura respetiva na perpendicular tirada pelo vértice oposto. Se tomamos para base, o lado $\;CA\;$, a altura $\;h\;$ na perpendicular a $\;CA\,$ é o caminho mais curto de $\;B\;$ até $\;CA\;$ e, por isso só não é mais curto que $\;BC\;$ (ou $\;BA\,$) quando $\;BC \perp CA\;$ (ou quando $\;BA \perp CA.\;$)
Quando a altura $\;h\;$ é $\;BC\;$, estamos perante um triângulo de área máxima, isto no triângulo que é retângulo em $\;C.\;$ O triângulo retângulo $\;BCA\;$ retângulo em $\;A\;$ tem área inferior a $\;BCA,\;$ retângulo em $\;C\;$, ja que tem base comum e altura $\;BA\;$ menor.□
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947