Dividir um quadrilátero em duas partes equivalentes por uma reta a passar por um vértice

Apresentamos a seguir uma construção dinâmica a ilustrar que para qualquer quadrilátero há uma reta a passar por um vértice que o divide em dois polígonos equivalentes

O enunciado do problema desta entrada é:
Dado um quadrilátero $\;ABCD\;$ determinar uma reta a passar, por exemplo, por $\;D,\;$ que divide $\;ABCD\;$ em duas partes iguais em área.

Pode seguir os passos da nossa construção e notas de demonstração usando a barra de navegação para passos da construção ao fundo do rectângulo de visualização
  1. Apresenta-se inicialmente um quadrilátero $\;ABCD.\;$
  2. 21 agosto 2017, Criado com GeoGebra

  3. O quadrilátero $\;ABCD\;$ com os vértices nas posições apresentadas inicialmente é tal que $\;\mbox{Área de}\;\;[ABD] > \mbox{Área de}\;\;[BCD]\;$ e é, por isso, necessário cortar alguma parte ao $\;[ABD].\;$ E, de acordo com o enunciado, $\;D\;$ deve ser um extremo do segmento de reta que corta $\;ABD\;$ e divide o quadrilátero em duas partes iguais. Se chamarmos $\;E\;$ ao outro extremo do segmento, terá de ser $\;[AED]\;$ equivalente a $\;[BCDE].\;$
    Como se vê na figura, tomámos as seguintes retas $\;AB,\;DB,\;$ uma paralela a $\;DB\;$ tirada por $\;C\;$ que interseta $\;AB\;$ em $\;C’\;$ e finalmente a reta $\;DC’.\;$
    Como é óbvio, os triângulos $\;DBC\;$ e $DBC’$ têm uma base $\;DB\;$ comum e os vértices $\,C, \;C’\;$ opostos a $\;DB\;$ sobre uma paralela a ela. São, por isso, iguais em área. Assim, $$\mbox{Área de}\;\;[DEBC] =\mbox{Área de}\;\;[DEB]+ \mbox{Área de}\;\;[BCD]= \mbox{Área de}\;\;[DEB]+ \mbox{Área de}\;\;[BC’D] =\mbox{Área de}\;\;[DEC’].$$ Como $\;DE\;$ deve ser tal que $$\;\mbox{Área de}\;\;[DEBC] = \;\mbox{Área de}\;\;[AED],\;$$ pelo que vimos há pouco $$\;\mbox{Área de}\;\;[DEBC]=\;\mbox{Área de}\;\;[DEC’]$$ e, em consequência, $$\;\mbox{Área de}\;\;[AED]=\mbox{Área de}\;\;[DEC’]\;$$ o que, para ser verdade, como a distância de $\;D\;$ a $\;AB\;$ é a altura comum aos dois triângulos de bases $\;AE, \; EC’\;$ que têm de ser equivalentes, então $\;E\;$ tem de ser o ponto médio de $\;AC’.\;$ Ficamos a saber os passos do processo de determinação de $\;E\;$ que com $\;D\;$ define a reta que corta o quadrilátero em duas partes equivalentes.
  4. No passo 3, precisamos que o leitor desloque, por exemplo $\;C,\;$ para uma posição tal que $\;\mbox{Área de }\;\;[ABD] < \mbox{Área de }\;\;[ABD] \;$ em que teremos de procurar/apresentar um ponto $\;F\;$ de $\;BC\;$ tal que $\;DF\;$ divide o quadrilátero $\;ABCD\;$ em duas partes equivalentes. O processo é inteiramente análogo ao anterior.


Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Librairie Delagrave. Paris: 1964
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947