Inscrever um retângulo de área dada numa dada circunferência
A construção geométrica que se apresenta a seguir ilustra a determinação de um retângulo $\;[ABCD]\;$ inscrito numa circunferência $\;(O, \;r)\;$ e de área igual a $\;a^2\;$ (ou equivalente a um quadrado de lado $\;a\;$)
  1. São dados um segmento $\;a\;$ e a circunferência $\;(O,\;r).\;$ Pode variar o comprimento $\;a\;$, mas não o raio $\;r\;$ para verificar as condições de existência de soluções
    Recorremos à barra de navegação dos passos da construção abaixo da janela de visualização. Poderá sempre reiniciar a construção clicando no botão na direita alta da janela.
  2. 17 março 2017, Criado com GeoGebra

  3. Tomamos um ponto $\;A\;$ qualquer sobre a circunferência para vértice do retângulo.
  4. Como o nome indica qualquer dos ângulos de um retângulos é reto e inscritível numa semicircunferência. Por isso, a diagonal do retângulo inscrito é um diâmetro da circunferência. E a recta $\;AO\;$ interseta $\; (O,\;r)\;$ no vértice do retângulo oposto a $\;A\;$ que designamos por $\;C.\;$
  5. A diagonal $\;AC\;$ (diâmetro $\;2r\;$) divide o retângulo $\;ABCD\;$ em dois triângulos retângulos iguais e de hipotenusa comum $\;AC$: $\;ABC\;$ retângulo em $\;B\;$ e $\;CDA\;$ retângulo em $\;D\;$ A área de cada um desses triângulos é igual a metade de $\;a^2\;$ - área do quadrado. A altura $\;h\;$ relativa à hipotenusa de qualquer um desses triângulos é medida na perpendicular a $\;AC\;$ para um ponto da circunferência $\;(O,\;r)\;$ e tal que $$\; \frac{AC\times h}{2} = \frac{a^2}{2}\;\;\;\;\; \mbox{ou} \;\;2rh=a^2 \;\; \mbox{a permitir-nos escrever que}\;\; \frac{2r}{a}=\frac{a}{h} $$ e $\;h\;$ calculado como se vê neste passo da construção em que, para suprema felicidade de um de nós, se recorre ao teorema de Thales.
  6. Bastar-nos-á transferir o calculado $\;h\;$ por uma paralela a $\;AC\;$ dela distante $\;h\;$ que interseta a circunferência $\;(O,\;r)\;$ em dois pontos, dos quais, um deles é $\;B, \;$ como mostramos neste passo da construção.
  7. Desenham-se os catetos do triângulo $\;ABC\;$
  8. O vértice $\;D\;$ oposto a $\;B\;$ encontra-se na intersecção $\;BO.(O,\;r)\;$
  9. $\;CD, \;DA\;$ são os catetos de $\;CDA\;$ - o outro triângulo metade do retângulo que assim fica bem determinado para cada ponto $\;A\;$ da circunferência $\;(O,\,r).$
  10. Finalmente, apresenta-se o retângulo $\;ABCD\;$ e a sua área igual à área do quadrado de lado $\;a\;$ dado.

Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947