Uma figura de gumes circulares equivalente a um triângulo

Apresentamos a seguir uma construção dinâmica a ilustrar a equivalência de um triângulo rectângulo a uma superfície limitada por semicircunferências.

  1. Tomámos um segmento $\;AB\;$ e uma semicircunferência de diâmetro $\;AB\;$e sobre esta um ponto $\;C.\;$
  2. Do triângulo $\;ABC,\;$ inscrito na semicircunferência, que é rectângulo em $\;C,\;$ tomamos os seus catetos $\;AC\;$ e $\;CB\;$ para diâmetros de semicircunferências.
    A figura final mostra,

O enunciado do nosso problema, aqui abordado, é:
Demonstrar que a figura formada pelas duas lúnulas tracejadas a azul é igual em área ao triângulo retângulo $\;BAC\;$ também tracejado a azul.

Utilizando a “barra de navegação para passos da construção” (ao fundo da janela de visualização) pode ver etapas da construção e passar à figura de apoio à demonstração.

28 julho 2017, Criado com GeoGebra

Acrescentam-se, noutro semi-plano dos dois determinados pela reta $\;AB,\;$ outra semicircunferência de diâmetro $\;AB, \;$ um triângulo $\;BC’A\;$ imagem de $\;BCA\;$ por reflexão de eixo $\;AB\;$ e os dois semicírculos de diâmetros $\;AC’\;$ e $\;C’B,\;$ catetos do triângulo rectângulo em $\;C’\;$ geometricamente igual e, portanto, equivalente a $\;ABC\;$ O Teorema de Pitágoras estabelece que $\;AB^2= AC’^2+C’B^2\;$ e, obviamente, a área do semicírculo de diâmetro igual à hipotenusa $\;AB \;$ é igual à soma das áreas dos semicírculos que têm por diâmetros os catetos $\;AC’, \; C’B\;$ do triângulo rectângulo $\;ABC’,\;$ a saber, $$\frac{\pi}{8} AB^2 =\frac{\pi}{8} {AC’}^2+ \frac{\pi}{8} {C’B}^2$$ [ Notas à margem: Aliás, de um modo geral, podemos enunciar o teorema de Pitágoras assim: As áreas de figuras semelhantes construídas sobre lados de um triângulo rectângulo são tais que a área da figura construída sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas construídas sobre os catetos” e, com sabemos, quaisquer dois círculos (ou semicírculos) são equivalentes entre si.]
A observação das figuras e as comparações que podemos fazer demonstram o que queremos: Somadas as áreas dos semicírculos de diâmetros catetos obtemos a área do semicírculo de diâmetro hipotenusa de $\;ABC\;$. E sabemos que o triângulo $\;ABC \;$ acrescentado da parte dos semicírculos que não pertencem à lúnulas é igual em área ao semicírculo de diâmetro $\;AB\;$. E, podemos assim concluir que as lúnulas somadas são iguais em área ao que sobra do semicírculo de diâmetro $\;AB\;$ se lhe retiramos a parte dos semicírculos que não pertencem às lúnulas e esse resto é o triângulo rectângulo $\;ABC\;$ de área $$\frac{AC\times BC}{2}$$


Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Librairie Delagrave. Paris: 1964
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947