Outra figura equivalente a um círculo

Apresentamos a seguir uma construção dinâmica a ilustrar a equivalência de um círculo a uma superfície limitada por semicircunferências .
Toma-se um segmento $\;AB\;$ e sobre ele um ponto $\;C, \;$ no caso mais perto de $\;A\;$ que de $;B.\;$ Determine-se $\;D\;$ tal que $\;AC=DB\;$ Desenham-se finalmente quatro semicircunferências - uma de diâmetro $\;AB,\;$ outra de diâmetro $\;AC\;$ e uma terceira de diâmetro $\;DB.\;$ todas num mesmo semi-plano dos dois em que a reta $\;AB\;$ divide o plano, e finalmente, do outro lado de $\;AB,\;$ a semicircunferência de diâmetro $\;CD.\;$ como mostra a figura abaixo.

O enunciado do nosso problema, aqui abordado, é:
Determinar um círculo equivalente a essa figura (limitada por quatro gumes semicirculares).

Utilizando a “barra de navegação para passos da construção” (ao fundo da janela de visualização) pode ver o círculo equivalente.

23 julho 2017, Criado com GeoGebra

  • A área da figura dos quatro gumes semicirculares pode ser expressa por $$\frac{1}{2}\pi \left(\frac{AB}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} \pi \left(\frac{AC}{2} \right)^2- \frac{1}{2} \pi \left(\frac{DB}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} \pi \left(\frac{CD}{2} \right)^2= \frac{1}{8} \pi (AB^2-2AC^2+CD^2) = … $$ Por ser $\;AB = 2AC+CD, \;\;\; AB^2 = 4AC^2 +CD^2 + 4AC.CD\;$ aquela expressão da área da superfície dos quatro gumes semiciruclares pode ser substituída por $$…=\frac{1}{8} \pi (\underbrace{4AC^2+CD^2+4AC.CD}-2AC^2+CD^2) =\frac{1}{8} \pi (2AC^2+2CD^2+4AC.CD)\\ = \frac{1}{4} \pi (AC^2+CD^2+2AC.CD) =\frac{1}{4} \pi (AC+CD)^2 = \pi \left(\frac{AD}{2}\right)^2$$ Fica demonstrado que qualquer círculo de diâmetro $\;AD\;$ é equivalente à superfície dos quatro gumes semicirculares apresentada.
    Escolhemos para representante destes círculos equivalentes, o círculo que tem por diâmetro o segmento do eixo de simetria da figura (ver passo 2).
    O segmento do eixo de simetria $\;EF\;$ tem comprimento igual a $\;\displaystyle \frac{AB}{2} + \frac{CD}{2} =$ $$ =\frac{AB+CD}{2}=\frac{\overbrace{2AC+CD}+CD}{2} =AC+CD =AD.\;$$
    Para ser aceite o círculo escolhido no nosso desenho só nos faltava provar que $\;EF=AD.\;$

    Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Librairie Delagrave. Paris: 1964
    Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947