Determinar um círculo equivalente a uma dada “faca de sapateiro”

Apresentamos a seguir uma construção dinâmica a ilustrar um problema sobre “faca de sapateiro” (Arbelos; Arquimedes).
Toma-se um segmento $\;AB\;$ e sobre ele um ponto $\;C.\;$ Desenham-se três semicircunferências - uma de diâmetro $\;AB,\;$ outra de diâmetro $\;AC\;$ e uma terceira de diâmetro $\;CB.\;$ O problema de Arquimedes refere-se à área do semicírculo maior subtraída da área dos semicírculos menores, ou seja à superfície contida entre as três semicircunferências (que é nem mais nem menos que o arbelo ou faca de sapateiro).

O enunciado do nosso problema, aqui abordado, é:
Determinar um círculo equivalente a uma dada “faca de sapateiro”.

Utilizando a “barra de navegação para passos da construção” (ao fundo da janela de visualização) pode seguir os passos que vêm justificados logo depois da figura dinâmica.
  1. Começamos por apresentar um semicírculo vermelho de diâmetro $\;AB.\;$

    18 julho 2017, Criado com GeoGebra

  2. Tomado um ponto $\;C\;$ em $\;[AB],\;$ mostram-se os semicírculos - brancos - de diâmetros $\;AC\;$ e $\;CB.\;$ Fica bem realçada, a vermelho, a área da faca de sapateiro que é igual à área do círculo de diâmetro $\;AB\;$ expressa por $\; \displaystyle \frac{1}{2} \times \pi \times \displaystyle \left(\frac{AB}{2}\right) ^2 = \pi \times \frac{AB^2}{8}\;$ — subtraída das áreas dos círculos de diâmetro $\; AC\;$ expressa por $\;\displaystyle \frac{1}{2} \times\pi \times \displaystyle \frac{AC^2}{8}\;$ — e de diâmetro $\;CB\;$ —$\; \pi \times \left(\displaystyle \frac{CB^2}{8}\right).\;$ Em resumo: A área desta faca de sapateiro é expressa por $$ \displaystyle \frac{\pi}{8} \times (AB^2-AC^2-CB^2)$$
  3. Tira-se por $\;C\;$ a perpendicular a $\;AB\;$ que intersecta a circunferência de diâmetro $\;AB\;$ num ponto $\;D. \;$. E chama-se a atenção para o triângulo $\;ABD\;$ retângulo em $\;D\;$ (inscrito na semicircunferência) do qual $\;CD\;$ é a altura relativa à sua hipotenusa $\;AB.\;$ Nestas condições, sabemos que a altura $\;CD\;$ é o meio proporcional de $\;AC\;$ e $\;CB\;$, ou seja, $\;CD^2 = AC \times CB. \;$ Este resultado permite-nos simplificar a expressão encontrada para a área da faca de sapateiro:
    Como $\;AB=AC+CB, \;\; AB^2= AC^2+CB^2 + 2AC.CB \;$ e $\;AB^2 -AC^2-CB^2= 2AC.CB.\;$ Assim, a área da faca de sapateiro pode ser expressa por $ \displaystyle \frac{\pi}{8} \times (2AC.CB)=\frac{\pi}{8} \times (2CD^2) = \pi \times \left(\frac{CD}{2}\right)^2$
  4. Qualquer círculo de diâmetro $\;CD\;$ é equivalente à nossa faca de sapateiro. Mostra-se um digno representante que pode ser deslocado para outras posições (movimentando $\;F\;$)


Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Librairie Delagrave. Paris: 1964
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947
Arbelos - the Shoemaker's Knife: Archimedes called one half (upper or lower) of this shape arbelos which literally means "a shoemaker's knife." The property we just proved appears as Proposition 4 in his Book of Lemmas:
If AB be the diameter of a semicircle and N any point on AB, and if semicircles be described within the first semicircle and having AN, BN as diameters respectively, the figure included between the circumferences of the three semicircles is "what Archimedes called arbelos"; and its area is equal to the circle on PN as diameter, where PN is perpendicular to AB and meets the original semicircle in P.
The circle in question is circumscribed around a rectangle characteristically formed in AN arbelos. (An attempt to present a dynamic proof without words can be found elsewhere.)
Não encontrei e não cheguei lá:-(