Determinar um círculo equivalente a uma dada coroa circular

Apresentamos a construção dinâmica que pode usar para Demonstrar que a coroa circular entre dois círculos concêntricos é equivalente a qualquer círculo que tenha por diâmetro uma corda do círculo maior tangente ao círculo menor. (ref: Cluzel & Robert)

Demonstra-se que
Considere-se a coroa circular determinada pelos círculos $\;(O, OA), \; (O, OB) \;$ tais que $\; OA < OB\;$ e um segmento $\;CD\;$ de extremos sobre $\;(O, OB)\;$ e tangente a $\;(O, OA)\;$ no seu ponto $\;T.\;$
Prova-se que a coroa $\;(O, OB)\setminus (O, OA)\;$ é equivalente ao círculo $\;(T, TC)\;$

Utilizando a “barra de navegação para passos da construção” (ao fundo da janela de visualização) pode seguir os passos que vêm justificados logo depois da figura dinâmica. Sempre que a ilustração fique sobrecarregada caso se distraia com a possibilidade de pôr tudo a mexer, use o botão de reiniciar - à direita alta.
  1. Começamos por mostrar os círculos $\;\left(O,\; OA \right)\;$ e $\; \left(O,\; OB\right).\;$ A coroa circular é o conjunto dos pontos que pertencem ao círculo de centro $\;O\;$ e raio $\;OB\;$ e não pertencem ao círculo de centro $\;O\;$ e raio $\;OA\;$ que representamos por $\;(O, OB)\setminus (O, OA)\;$
  2. Mostra-se de seguida um representante das cordas de $\; \left(O,\; OB\right),\;$ a saber $\;CD\;$ que é tangente a $\;\left(O,\; OA \right)\;$ em $\;A\;$
  3. $\; UV\;$ é uma corda nas condições de $\;CD\;$ que tem por ponto médio $\;T\;$ variável em $\;(O, OA).\;$ Quando $\;T\;$ percorre o seu domínio de liberdade, $\;UV\;$ assume todas as posições possíveis de corda nas condições referidas o que significa que varrem a coroa circular. Verificará tal quando no fim usar o botão de animação, na esquerda baixa, logo por cima da barra dos passos de navegação.
  4. À direita, tomamos um ponto $\;I\;$ tal que $\;IB = AC\;$(esta disposição não tem outro fim que não seja para evitar confusão nas imagens que queremos mostrar) e ponto médio de $\;JK\;$ de comprimento igual ao da corda $\;CD\;$ que pode rodar em trono de $\;I.\;$ Pelo movimento de rotação de $\;JK\;$ em torno de $\;I\;$ que pode ativar com o botão de animação, mostra-lhe que $\;JK\;$ varre um círculo de diâmetro $\;CD,\;$ logo com a mesma área varrida por $\;UV\;$ que é a coroa circular. A posição do ponto $\;I\;$ está sobre a reta $\;BC\;$ só por conveniência do ilustrador. Pode ser colocado em qualquer outra posição, claro.
  5. Chama-se finalmente a atenção para os raios $\;OA\;$ e $\;OC=OB\;$ necessários para a demonstração.

16 julho 2017, Criado com GeoGebra

Para o caso de não considerar a observação de varrimentos de áreas iguais feitos por segmentos iguais como prova bastante, aqui ficam as notas com mais ou menos fórmulas: A área da coroa circular $\;(O, OB)\setminus (O, OA)\;$ é obviamente igual à área do círculo $\;(O, OB)\;$ subtraída da área do círculo $\;(O, OA),\;$ ou seja, $\; \pi \times (OB^2 - OA^2) \;$
Como sabemo, a tangente $\;CD\;$ à circunferência $\;(O,OA)\;$ em $\;A\;$ é perpendicular a $\;OA\;$ e o teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo $\;OAC\;$, garante que $\;OC^2 = OA^2 + AC^2\;$ e podemos escrever que a área da coroa é $\;\pi AC^2\;$ que é a área de um círculo de diâmetro $\;CD\;$, como esperávamos.


Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Librairie Delagrave. Paris: 1964 Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947