Quadrilátero convexo de diagonais perpendiculares e áreas de quadrados.

Apresentamos a construção dinâmica que pode usar para demonstrar o resultado; Se as diagonais de um quadrilátero convexo são perpendiculares, demonstrar que a soma dos quadrados construídos sobre dois lados opostos é equivalente à soma dos quadrados construídos sobre os outros dois.

Demonstra-se que
Se um quadrilátero convexo $\;[ABCD],\;$ tem diagonais $\;AC\;$ e $\;BD\;$ perpendiculares, então $\;AD^2+ BC^2 = AB^2+CD^2\;$

Utilizando a “barra de navegação para passos da construção” (ao fundo da janela de visualização) pode seguir os passos que vêm justificados logo depois da figura dinâmica.
  1. Começamos por mostrar um quadrilátero $\;[ABCD]\;$ convexos de diagonais perpendiculares, propriedades que se mantêm se variar as posições dos seus vértices ou o ponto de encontro das diagonais.
  2. Apresentam-se os quadrados $\;ADEF\;$ e $\;IJCB\;$ de lados $\;AD\;$ e $\;BC\;$ que são lados opostos do quadrilátero $\;ABCD$
  3. Apresentam-se os quadrados $\;GHBA\;$ e $\;DCKL\;$ construídos sobre os lados $\;AB\;$ e $\;CD\;$ opostos no quadrilátero $\;ABCD\;$

14 julho 2017, Criado com GeoGebra

Para a demonstração, basta usar o teorema de Pitágoras: Os lados dos quadrados são lados do quadrilátero inicial e hipotenusas dos triângulos retângulos em que o quadrilátero é dividido pelas suas diagonais perpendiculares. Por isso, podemos escrever $$AD^2 = AO^2 + OD^2 \;\;\; \mbox{e}\;\;\; BC^2 = BO^2 + OC^2$$ e, por isso, $$\mbox{Área de }\; [ADEF] + \mbox{Área de }\; [CBIJ] = AD^2 + BC^2 = AO^2 + OD^2 + BO^2 + OC^2$$ Também $$AB^2 = AO^2+BO^2 \;\;\; \mbox{e}\;\;\; CD^2 = CO^2 + OD^2$$ E, em consequência, $$\mbox{Área de }\; [BAGH] + \mbox{Área de }\; [DCKL] = AB^2 + CD^2 = AO^2+BO^2 +CO^2 + OD^2$$ que prova que a soma das áreas dos quadrados sobre dois lados opostos do quadrilátero convexo de diagonais perpendiculares é igual à soma das áreas dos outros dois.


Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Librairie Delagrave. Paris: 1964 Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947