Quadrilátero convexo de diagonais perpendiculares e áreas de quadrados.
Apresentamos a construção dinâmica que pode usar para demonstrar o resultado;
Se as diagonais de um quadrilátero convexo são perpendiculares, demonstrar que a soma dos quadrados construídos sobre dois lados opostos é equivalente à soma dos quadrados construídos sobre os outros dois.
Demonstra-se que
Se um quadrilátero convexo $\;[ABCD],\;$ tem diagonais $\;AC\;$ e $\;BD\;$ perpendiculares, então $\;AD^2+ BC^2 = AB^2+CD^2\;$
Utilizando a “barra de navegação para passos da construção” (ao fundo da janela de visualização) pode seguir os passos que vêm justificados logo depois da figura dinâmica.
- Começamos por mostrar um quadrilátero $\;[ABCD]\;$ convexos de diagonais perpendiculares, propriedades que se mantêm se variar as posições dos seus vértices ou o ponto de encontro das diagonais.
- Apresentam-se os quadrados $\;ADEF\;$ e $\;IJCB\;$ de lados $\;AD\;$ e $\;BC\;$ que são lados opostos do quadrilátero $\;ABCD$
- Apresentam-se os quadrados $\;GHBA\;$ e $\;DCKL\;$ construídos sobre os lados $\;AB\;$ e $\;CD\;$ opostos no quadrilátero $\;ABCD\;$
14 julho 2017, Criado com GeoGebra
Para a demonstração, basta usar o teorema de Pitágoras:
Os lados dos quadrados são lados do quadrilátero inicial e hipotenusas dos triângulos retângulos em que o quadrilátero é dividido pelas suas diagonais perpendiculares. Por isso, podemos escrever
$$AD^2 = AO^2 + OD^2 \;\;\; \mbox{e}\;\;\;
BC^2 = BO^2 + OC^2$$
e, por isso,
$$\mbox{Área de }\; [ADEF] + \mbox{Área de }\; [CBIJ] = AD^2 + BC^2 = AO^2 + OD^2 + BO^2 + OC^2$$
Também
$$AB^2 = AO^2+BO^2 \;\;\; \mbox{e}\;\;\;
CD^2 = CO^2 + OD^2$$
E, em consequência,
$$\mbox{Área de }\; [BAGH] + \mbox{Área de }\; [DCKL] = AB^2 + CD^2 = AO^2+BO^2 +CO^2 + OD^2$$
que prova que a soma das áreas dos quadrados sobre dois lados opostos do quadrilátero convexo de diagonais perpendiculares é igual à soma das áreas dos outros dois.
Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Librairie Delagrave. Paris: 1964
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947