Das distâncias de um ponto do interior de um triângulo equilátero aos três lados iguais
Apresentamos a construção dinâmica que pode usar para demonstrar o resultado;
Utilizando as medidas de áreas, demonstrar que é constante a soma das distâncias de um ponto de posição P variável no interior de um triângulo equilátero aos seus lados.
Demonstra-se que
Num triângulo equilátero $\;[ABC],\;$ é constante $\;PD + PE + PF\;$ - soma das distâncias de um ponto $\;P\;$ do triângulo aos lados $\;BC, \; AC, \;AB.\;$
Utilizando a “barra de navegação para passos da construção” (ao fundo da janela de visualização) pode seguir os passos que vêm justificados logo depois da figura dinâmica.
- Começamos por mostrar um triângulo $\;[ABC]\;$ equilátero. As possíveis variações das posições dos seus vértices não alteram a relação de igualdade dos comprimentos dos seus lados: $\;BC= AC = AB =a\;$
- Apresenta-se um ponto $\;P\;$ do interior do triângulo.
- Sobre as perpendiculares a $\;BC, \;AC, \;AB\;$ tiradas por $\;P,\;$ consideram-se os segmentos $\;PD, \;PE, \;PF\;$ cujos comprimentos se confundem com as distâncias de $\;P\;$ aos lados iguais de $\;[ABC].\;$
- Tomamos os três triângulos que têm $\;P\;$ como vértice comum e cada um deles um lado de $\;ABC:\;$
-
$\;CPB\;$ de altura $\;PD\;$ tirada de $\;P\;$ para o lado oposto $\;CB.\;$
- $\;APC\;$ de altura $\;PE\;$ relativa a $\;CA\;$
- $\;BPA\;$ de altura $\;PF\;$ relativa a $\;AB\;$
11 julho 2017, Criado com GeoGebra
Demonstração:
1.
Para um dado triângulo equilátero $\;[ABC],\;$ a que corresponde uma dada área $\;s,\;$ e sendo $\;P\;$ um ponto do seu interior, acrescentando ao triângulo $\;PCB\;$,$\;PAC\;$,pelo seu lado comum $\;CP\;$ obtemos o quadrilátero $\;CAPB\;$ que acrescentado de $\;PBA\;$ forma o triângulo $\;ABC.\;$ Ou seja
$$ \mbox{Área de }\; [PCB] + \mbox{Área de }\; [PAC] + \mbox{Área de }\; [PBA]= \mbox{Área de }\; [ABC]$$
e, por isso, e por ser $\;BC=AC=AB\;$ ou $\;a= b=c\;$
$$ \frac{a\times PD}{2} + \frac{b \times PE}{2} + \frac{c \times PF}{2}=s = \frac{a}{2} \times (PD+PE+PF)$$
que nos confirma que
$$PD+PE+PF = \frac{2s}{a} $$
constante para $\;[ABC]\;$ dado.
Assim provámos que é constante a soma das distâncias de um ponto no interior do triângulo equilátero aos seu lados.
E, po ser $$s = \frac{a}{2} \times h$$
em que $\;h\;$ é a altura do triângulo equilátero (as diversas alturas do triângulo equilátero são iguais),
concluímos que a soma das distâncias de um ponto qualquer do interior de um triângulo equilátero aos seus lados é igual à sua altura.
Podemos recorrer a medidas de áreas para resolver problemas de comparação de medidas de segmentos ou, como neste caso, para determinar e provar invariâncias envolvendo operações de segmentos. O método é o mesmo da anterior entrada. Que acontecerá se o ponto estibver no exterior do triângulo equilátero?
Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Librairie Delagrave. Paris: 1964
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947