Das distâncias de um ponto do interior de um triângulo equilátero aos três lados iguais

Apresentamos a construção dinâmica que pode usar para demonstrar o resultado; Utilizando as medidas de áreas, demonstrar que é constante a soma das distâncias de um ponto de posição P variável no interior de um triângulo equilátero aos seus lados.

Demonstra-se que
Num triângulo equilátero $\;[ABC],\;$ é constante $\;PD + PE + PF\;$ - soma das distâncias de um ponto $\;P\;$ do triângulo aos lados $\;BC, \; AC, \;AB.\;$

Utilizando a “barra de navegação para passos da construção” (ao fundo da janela de visualização) pode seguir os passos que vêm justificados logo depois da figura dinâmica.
  1. Começamos por mostrar um triângulo $\;[ABC]\;$ equilátero. As possíveis variações das posições dos seus vértices não alteram a relação de igualdade dos comprimentos dos seus lados: $\;BC= AC = AB =a\;$
  2. Apresenta-se um ponto $\;P\;$ do interior do triângulo.
  3. Sobre as perpendiculares a $\;BC, \;AC, \;AB\;$ tiradas por $\;P,\;$ consideram-se os segmentos $\;PD, \;PE, \;PF\;$ cujos comprimentos se confundem com as distâncias de $\;P\;$ aos lados iguais de $\;[ABC].\;$
  4. Tomamos os três triângulos que têm $\;P\;$ como vértice comum e cada um deles um lado de $\;ABC:\;$

11 julho 2017, Criado com GeoGebra

Demonstração:
1.
Para um dado triângulo equilátero $\;[ABC],\;$ a que corresponde uma dada área $\;s,\;$ e sendo $\;P\;$ um ponto do seu interior, acrescentando ao triângulo $\;PCB\;$,$\;PAC\;$,pelo seu lado comum $\;CP\;$ obtemos o quadrilátero $\;CAPB\;$ que acrescentado de $\;PBA\;$ forma o triângulo $\;ABC.\;$ Ou seja $$ \mbox{Área de }\; [PCB] + \mbox{Área de }\; [PAC] + \mbox{Área de }\; [PBA]= \mbox{Área de }\; [ABC]$$ e, por isso, e por ser $\;BC=AC=AB\;$ ou $\;a= b=c\;$ $$ \frac{a\times PD}{2} + \frac{b \times PE}{2} + \frac{c \times PF}{2}=s = \frac{a}{2} \times (PD+PE+PF)$$ que nos confirma que $$PD+PE+PF = \frac{2s}{a} $$ constante para $\;[ABC]\;$ dado.
Assim provámos que é constante a soma das distâncias de um ponto no interior do triângulo equilátero aos seu lados. E, po ser $$s = \frac{a}{2} \times h$$ em que $\;h\;$ é a altura do triângulo equilátero (as diversas alturas do triângulo equilátero são iguais), concluímos que a soma das distâncias de um ponto qualquer do interior de um triângulo equilátero aos seus lados é igual à sua altura.

Podemos recorrer a medidas de áreas para resolver problemas de comparação de medidas de segmentos ou, como neste caso, para determinar e provar invariâncias envolvendo operações de segmentos. O método é o mesmo da anterior entrada. Que acontecerá se o ponto estibver no exterior do triângulo equilátero?


Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Librairie Delagrave. Paris: 1964 Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947