Das distâncias de um ponto da base de um triângulo isósceles aos dois lados iguais
Apresentamos a construção dinâmica que pode usar para demonstrar o resultado;
Utilizando as medidas de áreas, demonstrar que a soma das distâncias de um ponto de posição P variável sobre a base de um triângulo isósceles aos lados iguais é constante. Estudar o caso em que o ponto P está sobre o prolongamento da base.
Demonstra-se que
Num triângulo isósceles $\;[ABC],\;$ é constante $\;PD + PE\;$ - soma das distâncias de um ponto $\;P\;$ da base $\;[BC]\;$ aos lados $\;AC\;$ e $\;AB.\;$
E que acontece quando $\;P\;$ está na reta $\;BC\;$ mas não no segmento $\;[BC]\;$ ?
Utilizando a “barra de navegação para passos da construção” (ao fundo da janela de visualização) pode seguir os passos que vêm justificados logo depois da figura dinâmica.
- Começamos por mostrar um triângulo $\;[ABC]\;$ isósceles, As possíveis variações das posições dos seus vértices não alteram a relação de igualdade dos comprimentos de dois dos seus lados: $\;AC=AB\;$
- Apresenta-se um ponto $\;P\;$ sobre a reta da base $\;BC,\;$ que pode deslocar entre $\;B\;$ e $\;C\;$ para começar.
- Sobre as perpendiculares a $\;AC\;$ e a $\;AB\;$ tiradas por $\;P,\;$ consideram-se os segmentos $\;PD, \;PE\;$ cujos comprimentos se confundem com as distâncias de $\;P\;$ aos lados iguais de $\;[ABC].\;$
- Do triângulo $\;[CAP]\;$ que se apresenta neste passo, consideremos o lado $\;AC\;$ e a altura $\;PD\;$ a ele relativa.
- Do mesmo modo, do triângulo $\;[ABP]\;$ consideremos o lado $\;AB\;$ e a altura $\;PE\;$ a ele relativa. Chamamos a atenção para $\;PA\;$ como lado comum aos dois triângulos $\;CAP\;$ e $\;PAB\;$
9 julho 2017, Criado com GeoGebra
Demonstração:
1.
Para um dado triângulo isósceles $\;[ABC],\;$ a que corresponde uma dada área $\;s,\;$ e sendo $\;P\;$ um ponto de $\;BC\;$ entre $\;B\;$ e $\;C,\;$ acrescentando ao triângulo $\;CAP\;$, o triângulo $\;BPA\;$ temos o triângulo $\;ABC\;$ e
$$ \mbox{Área de }\; [CAP] + \mbox{Área de }\; [BPA]= \mbox{Área de }\; [ABC]$$
e, por isso, e por ser $\;AC=AB\;$ ou $\;b=c\;$
$$ \frac{b\times PD}{2} + \frac{b \times PE}{2} =s \Longleftrightarrow b\times(PD+PE) =2s \Longleftrightarrow PD+PE = \frac{2s}{b}$$
constante para $\;[ABC]\;$ dado.
2.
a) Se deslocar $\;P\;$ para a esquerda até ficar à esquerda de $\;B\;$ verá que o triângulo $\;ABC\;$ acrescentado de $\;BAP\;$ é o mesmo que $\;CAP,\;$ ou seja
$$s+ \frac{c \times PE}{2} = \frac{b \times PD}{2}, \;\;\mbox{isto é,} \;\; PD - PE = \frac{2s}{b}$$
constante para um dado $\;ABC.\;$
b) De modo inteiramente análogo, podemos concluir que quando $\;P\;$ está numa posição à direita de $\;C\;$ é $$\;\mbox{Área de }\;BAP =\mbox{Área de }\;ABC + \mbox{Área de }\;CAP \;$$
e, por isso, $$\;PE-PD = \frac{2s}{b}$$
E, de um modo geral,
quando $\;P\;$ está em posição exterior a $\;[BC],\;$ sabemos que
$$ \left| PD-PE \right| = \frac{2s}{b}$$
constante. □
Podemos recorrer a medidas de áreas para resolver problemas de comparação de medidas de segmentos ou, como neste caso, para determinar e provar invariâncias envolvendo operações de segmentos
Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Libarairie Delagrave. Paris: 1964
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947