Das distâncias de um ponto da base de um triângulo isósceles aos dois lados iguais

Apresentamos a construção dinâmica que pode usar para demonstrar o resultado; Utilizando as medidas de áreas, demonstrar que a soma das distâncias de um ponto de posição P variável sobre a base de um triângulo isósceles aos lados iguais é constante. Estudar o caso em que o ponto P está sobre o prolongamento da base.

Demonstra-se que
Num triângulo isósceles $\;[ABC],\;$ é constante $\;PD + PE\;$ - soma das distâncias de um ponto $\;P\;$ da base $\;[BC]\;$ aos lados $\;AC\;$ e $\;AB.\;$
E que acontece quando $\;P\;$ está na reta $\;BC\;$ mas não no segmento $\;[BC]\;$ ?

Utilizando a “barra de navegação para passos da construção” (ao fundo da janela de visualização) pode seguir os passos que vêm justificados logo depois da figura dinâmica.
  1. Começamos por mostrar um triângulo $\;[ABC]\;$ isósceles, As possíveis variações das posições dos seus vértices não alteram a relação de igualdade dos comprimentos de dois dos seus lados: $\;AC=AB\;$
  2. Apresenta-se um ponto $\;P\;$ sobre a reta da base $\;BC,\;$ que pode deslocar entre $\;B\;$ e $\;C\;$ para começar.
  3. Sobre as perpendiculares a $\;AC\;$ e a $\;AB\;$ tiradas por $\;P,\;$ consideram-se os segmentos $\;PD, \;PE\;$ cujos comprimentos se confundem com as distâncias de $\;P\;$ aos lados iguais de $\;[ABC].\;$
  4. Do triângulo $\;[CAP]\;$ que se apresenta neste passo, consideremos o lado $\;AC\;$ e a altura $\;PD\;$ a ele relativa.
  5. Do mesmo modo, do triângulo $\;[ABP]\;$ consideremos o lado $\;AB\;$ e a altura $\;PE\;$ a ele relativa. Chamamos a atenção para $\;PA\;$ como lado comum aos dois triângulos $\;CAP\;$ e $\;PAB\;$

9 julho 2017, Criado com GeoGebra

Demonstração:
1.
Para um dado triângulo isósceles $\;[ABC],\;$ a que corresponde uma dada área $\;s,\;$ e sendo $\;P\;$ um ponto de $\;BC\;$ entre $\;B\;$ e $\;C,\;$ acrescentando ao triângulo $\;CAP\;$, o triângulo $\;BPA\;$ temos o triângulo $\;ABC\;$ e $$ \mbox{Área de }\; [CAP] + \mbox{Área de }\; [BPA]= \mbox{Área de }\; [ABC]$$ e, por isso, e por ser $\;AC=AB\;$ ou $\;b=c\;$ $$ \frac{b\times PD}{2} + \frac{b \times PE}{2} =s \Longleftrightarrow b\times(PD+PE) =2s \Longleftrightarrow PD+PE = \frac{2s}{b}$$ constante para $\;[ABC]\;$ dado.
2.
a) Se deslocar $\;P\;$ para a esquerda até ficar à esquerda de $\;B\;$ verá que o triângulo $\;ABC\;$ acrescentado de $\;BAP\;$ é o mesmo que $\;CAP,\;$ ou seja $$s+ \frac{c \times PE}{2} = \frac{b \times PD}{2}, \;\;\mbox{isto é,} \;\; PD - PE = \frac{2s}{b}$$ constante para um dado $\;ABC.\;$
b) De modo inteiramente análogo, podemos concluir que quando $\;P\;$ está numa posição à direita de $\;C\;$ é $$\;\mbox{Área de }\;BAP =\mbox{Área de }\;ABC + \mbox{Área de }\;CAP \;$$ e, por isso, $$\;PE-PD = \frac{2s}{b}$$
E, de um modo geral, quando $\;P\;$ está em posição exterior a $\;[BC],\;$ sabemos que $$ \left| PD-PE \right| = \frac{2s}{b}$$ constante. □

Podemos recorrer a medidas de áreas para resolver problemas de comparação de medidas de segmentos ou, como neste caso, para determinar e provar invariâncias envolvendo operações de segmentos


Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Libarairie Delagrave. Paris: 1964 Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947