[ADE] equivalente a isósceles [ABC]

De um ponto $\;D\;$ de um dos lados - $\;AB\;$ - iguais do triângulo isósceles $\;[ABC]\;$ tire-se uma reta cortando a base $\;BC\;$ e intersetando a reta do outro lado $\;AC\;$ de modo a formar um triângulo equivalente ao triângulo dado.

Sendo $\;AB=AC\;$ e $\;D \in \dot{A}B,\;$ determinar $\;E \in \dot{A}C :\; \mbox{Área de }\; [ABC] = \mbox{Área de}\; [ADE]\;$

Na construção dinâmica que a seguir se apresenta, surge o triângulo $\;[ABC]\;$ dado de que pode deslocar qualquer dos vértices. Utilizando a “barra de navegação para passos da construção” (ao fundo) pode seguir os passos que vêm justificados logo depois da figura dinâmica.

3 julho 2017, Criado com GeoGebra

Consideremos o problema resolvido, isto é, para $\;D \;$ sobre $\;AB\;$ está tirada por $\;D\;$ uma reta que intersecta $\;BC\;$ em $\;F\;$ e $\;AC\;$ em $\;E\;$ e tal que $\;[ABC]\;$ é igual em área a $\;[ADE].\;$
Ou seja, a área $\;DBF\;$ subtraída a $\;ABC\;$ é compensada pela área de $\;CFE\;$ acrescentada a $\;ADFC.\;$
E se a área de $\;DBF\;$ é igual à área de $\;CFE\;$ então $\;BEF\;$ acrescentada de $\;ECF \; -\; BCE\; -\;$ igual em área a $\;BEF\;$ acrescentada de $\;DBF\; -\; DBE.\;$
E, como estes triângulos $\;BCE\;$ e $\;DBE\;$ têm um lado comum $\;BE,\;$ para serem iguais, as alturas relativas a $\;BE\;$ são iguais, isto é, são iguais as distâncias de $\;D\;$ e $\;C\;$ a $\;BE\;$ que é o mesmo que dizer que $\;DC\;$ é paralela a $\;BE.\;$


Este raciocínio informa-nos que os procedimentos para determinar $\;E,\;$ dado $\;D\;$ sobre $\;AB,\;$ resumem-se a traçar a reta $\;DC\;$ para, a seguir traçar por $\;B\;$ uma paralela a $\;DC\;$ que intersecta $\;A\;$ C em $\;E.\;$


Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947