Dividir um paralelogramo em 2 trapézios equivalentes
A construção que se apresenta a seguir ilustra um resultado interessante para problemas de divisão de paralelogramos em trapézios equivalentes.
  1. É dado um paralelogramo $\;[ABCD].\;$ Vejamos, passo a passo, a construção que fizemos para uma divisão desse paralelogramo em dois trapézios iguais em área.
    Recorremos à barra de navegação dos passos da construção abaixo e ao centro da janela de visualização.
  2. 13 março 2017, Criado com GeoGebra

  3. Cada uma das diagonais do paralelogramo divide a outra ao meio
  4. Chamemos $\;M\;$ ao ponto de intersecção da diagonais $\;AC, \;BD. \;$ A rotação de $\;180°\;$ em torno do centro $\;M\;$ (ou meia volta) transforma $\;A\;$ em $\;C\;$ e $\;D\,$ em $\;B.\;$
  5. Tomamos um ponto $\;E\;$ qualquer de $\;AB\;$ (pode deslocar-se). A sua imagem pela rotação definida acima é um ponto $\;F\,$ de $\;CD,\;$ por $\;AB\;$ ser transformada em $\;CD\;$ pela rotação de $\;180°\;$ em torno de $\;M\;$
  6. $\;EF\;$ passa por $\;M\;$ e divide o paralelogramo $\;ABCD\;$ em dois trapézios $\;AEFD\;$ e $\; EBCF\;$ - ($\;AE \parallel DF, \; \; EB \parallel FC$)
Como vimos $$\begin{matrix} &Rot\left(M, 180°\right)& \\ A&\mapsto &C\\ E&\mapsto &F\\ F& \mapsto& E\\ D& \mapsto& B\\ [AEFD] & \rightarrow & [CFED] \end{matrix}$$ Fica assim provado que os dois trapézios são geometricamente iguais e portanto equivalentes.
Podemos concluir que qualquer reta que passe pela intersecção das diagonais de um paralelogramo divide-o em dois trapézios equivalentes.
A ilustração final deste resultado pode ser vista clicando no botão da animação na esquerda baixa da janela de visualização. □
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947