Meio proporcional das áreas de $\;BCH, \; BCA\;$



De um triângulo $\;[ABC]\;$ consideremos o ponto $\;H\;$ seu ortocentro, o semicírculo de diâmetro $\;BC\;$ que corta a altura $\;AH\;$ em $\;D.\;$
Demonstra-se que a área do triângulo $\;BCD\;$ é meio proporcional entre as áreas dos triângulos $\;BCA\;$ e $\;BCH,\;$ ou seja, que $$\displaystyle \frac{ \mbox{Área de}\; [BCA]}{ \mbox{Área de}\; [BCD]} = \frac{ \mbox{Área de}\; [BCD]}{ \mbox{Área de}\; [BCH]}$$ ou $$ \mbox{Área de}\; [BCA]\times \mbox{Área de}\; [BCH] = \mbox{Área de}\; [BCD] \times \mbox{Área de}\; [BCD]$$
Na figura dinâmica que se segue, mostra-se inicialmente um triângulo $\;ABC\;$ (que pode variar deslocando um qualquer dos seus vértices). Utilizando a “barra de navegação para passos da construção” (ao fundo) pode ter - passo 2 - acesso ao semicírculo de diâmetro $\;BC,\;$ aos pés $\;A’, \;B’, \;C’\;$ das alturas de $\;ABC \;$, assim como os pontos $\;H, \;D\;$ e aos triângulos $\;BCH, \;BCD.\;$ No passo 3, mostramos os vértices dos retângulos $\; BC \times AA’,\; BC \times DA’, \; BC \times HA’ \; $ cujas áreas satisfazem a relação entre as áreas referida no enunciado.

30 junho 2017, Criado com GeoGebra

Notas da demonstração:
Os pontos $\;B’\;$ e $\;C’\;$ de intersecção do semicírculo de diâmetro $\;BC\;$ com os lados $\;AC\;$ e $\;AB\;$ são pés das alturas de $\;ABC\;$ tiradas por $\;B\;$ e por $\;C,\;$ respetivamente. Os ângulos $\;C\hat{B}’B\;$ e $\;B\hat{C’}C,\;$ inscritos no semicírculo $\;\left( BoC \right)\;$, são retos.
Os triângulos retângulos $\;BA’H, \; AA’C\;$ são semelhantes, porque: $\;B\hat{A’}H=A\hat{A’}C= 1\;$ reto e $\;B’\hat{B}C= H\hat{B}A’= C\hat{A}A’$ por serem complementares do mesmo ângulo $\;B\hat{C}A= A’\hat{C}A.$ Em consequência, $$\frac{BH}{CA} = \frac{A’H}{A’C}= \frac{BA’}{AA’},$$ de onde $$A’B \times A’C = AA’\times A’H$$ Ora assim $$ \mbox{Área de}\; [BCA]\times \mbox{Área de}\; [BCH] = \frac{BC \times AA’}{2} \times \frac{BC \times A’H}{2}= BC^2 \times \frac{AA’ \times A’H}{4}= BC^2 \times \frac{A’B \times A’C}{4} =....*$$ Sabemos que, por ser $\; BA’+A’C=BC, \; D \;$ ser um ponto do semicírculo de diâmetro $\;BC\;$ na perpendicular a $\;BC\;$ tirada por $\;A’, \; \; DA\;$ é a média geométrica de $\;BA’\;$ e $\;A’C, \;$ ou seja $\;A’D^2 = BA’ \times CA’$ Ou, e outro modo, a altura $\;DA’\;$ do triângulo $\;ABD,\;$ retângulo em $\;D\;$ é o meio proporcional entre os segmentos em que divide a hipotenusa $\;BC.\;$ $$*...= \frac{BC^2 \times A’D^2 }{4}= \left(\frac{BC \times A’D}{2} \right)^2 = \left(\mbox{Área de}\; [BCD] \right)^2$$ □
A altura $\;AA’\;$ divide $\;BC\;$ em dois segmentos $\;BA’, \; A’C\;$. Provou-se que o triângulo de base $\;BC\;$ e altura igual ao meio proporcional desses dois segmentos tem área que é meio proporcional das áreas de $\;ABC\;$ e $\;HBC.\;$
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947