ABC, mediana AM; relação entre as áreas de PAB, PAC, PAM.



De um triângulo $\;[ABC]\;$ consideremos o ponto $\;M \;$ médio de $\;BC.\;$ Se $\;P\;$ é um ponto distinto de qualquer dos pontos $\;A, \;B, \;C, \;M,\;$ podemos considerar os triângulos $\;PAM, \;PAB, \;PAC\;$ e demonstrar que

  1. Se $\;B,\;C \;$ incidem simultaneamente num dos semi-planos determinados pela reta $\;PA,\;$ então $$\; \mbox{Área de}\;[PAM] = \frac{ \mbox{Área de}\;[PAB] + \mbox{Área de}\;[PAC] }{2}$$

  2. Se $\;B,\;C \;$ se separam (ou dispersam) pelos dois semi-planos determinados pela reta $\;PA, \;$ então $$\; \mbox{Área de}\;[PAM] = \frac{ |\mbox{Área de}\;[PAB] - \mbox{Área de}\;[PAC] |}{2}$$


Fazendo variar os valores de $\;\fbox{n=1, 2,…},\;$ sucedem-se os diversos passos da construção:
$\;\fbox{n=1}:-\;$ Apresenta-se um triângulo $\;ABC\;$
$\;\fbox{n=2}:-\;$ Mostra-se o ponto $\;M\;$ médio de $\;a=BC:\;\; BM = MC\;$
$\;\fbox{n=3}:-\;$ Mostra-se um ponto $\;P\;$ do plano que se pretende em posição distinta de $\;A, \;B, \;C, \;M\;$ e, no caso da nossa figura, está em posição tal que os pontos $\;B, \;C\,$ estão do mesmo lado de $\;PA.\;$
$\;\fbox{n=4}:-\;$ Mostra-se o triângulo $\;PAB\;$ e a altura $\;BB’\;$ relativa ao lado $\;PA\;$ oposto de $\;B.\;$
$\;\fbox{n=5}:-\;$ Mostra-se o triângulo $\;PAC\;$ e a altura $\;CC’\;$ relativa ao lado $\;PA\;$ oposto a $\;C\;$
$\;\fbox{n=6}:-\;$ Mostra-se o triângulo $\;PAM\;$ e a sua altura $\;MM’\;$ relativa ao lado $\;PA\;$ oposto do vértice $\;M\;$
Como se vê na figura, os triângulos $\;PAM,\; PAB, \; PAC\;$ têm $\;PA \;$ como lado comum e assim as alturas $\;BB’, \;CC’, MM’\;$ relativas a $\;PA\;$ são perpendiculares a $\;PA\;$ e, por isso, paralelas entre si.

1 junho 2017, Criado com GeoGebra

1. Demonstração
$\;\fbox{n=7}:-\;$ Para a posição de $\;P\;$ tal que $\;BC\;$ estão do mesmo lado de $\;PA, \;$ podemos mostrar um trapézio $\;BCC’B’\;$ em que $\;BB’ \parallel CC’\;$ e do qual $\;MM’\;$ é a mediana por serem perpendiculares a uma mesma reta $\;PA\;$ e $\;M\;$ ser ponto médio de $\;BC,\;$ um dos lados não paralelos do trapézio. $$ MM’ = \frac{BB’+CC’}{2}$$ Podemos agora concluir que , para esta posição de $\;P\;$ $$\frac{1}{2} \times PA \times MM’ = \frac{1}{2} \times PA \times\frac{BB’+CC’}{2}= \frac{1}{2}\times\left(\frac{PA\times BB’}{2} + \frac{PA \times CC’}{2}\right) $$ ou seja, que $$ \mbox{Área de }\;\; PAM = \frac{1}{2} \times \left( \mbox{Área de }\;\; PAB + \mbox{Área de }\;\; PAC \right)\;\;\;\;\;\;\mbox{(1) □}$$


$\;\fbox{n=8}:-\;$ Em conformidade com o enunciado (2) mostra-se um ponto $\;P\;$ do plano que se pretende em posição distinta de $\;A, \;B, \;C, \;M\;$ e, agora, em posição tal que os pontos $\;B, \;C\,$ estão separados pela reta $\;PA.\;$ E mostram-se os três triângulos $\;PAB, \;PAC, \;PAM\;$ tendo $\;PA\;$ como lado comum.
$\;\fbox{n=9}:-\;$ Mostram-se as alturas $\;BB’, \;CC’, \;MM’ \;$ relativas ao lado $\;AP\;$ comum aos três. As áreas desses triângulos são:
$$ \mbox{Área de}\;\;[PAB] = \frac{PA \times BB’}{2}, \;\;\;\;\;\;\;\; \mbox{Área de}\;\;[PAC] = \frac{PA \times CC’}{2} ,\;\;\;\;\;\;\;\; \mbox{Área de}\;\;[PAM] = \frac{PA \times MM’}{2}$$
2.Demonstração
$\;\fbox{n=10}:-\;$ Tira-se por $\;M\;$ uma paralela a $\;PA\;$ e os pontos $\;K, \;L\;$ de intersecção com as retas $\;BB’\;$ e $\;CC’.\;$ Os triângulos $\;BMK \;$ - retângulo em $\;K\;$ - e $\;CML\;$ - retângulo em $\;L\;$ - são iguais por terem dois ângulos iguais cada um a cada um $\; \angle \hat{K} = \angle \hat{L} = 1\;$ reto, $\;\angle K\hat{M}B = \angle C\hat{M}L\;$ verticalmente opostos, e hipotenusas iguais $\;BM=MC.\;$ Por isso, $\;LC =KB\;$ e como $\;CL= CC’+M’M, \; KB= B’B-M’M, \;$ para a posição de $\;AP\;$ entre $\;AM\;$ e $\;AC\;$ é certo afirmarmos que $\;CC’+M’M=B’B-M’M\;$ ou que $\;2\times M’M =B’B-CC’\;$ ou ainda $$\;MM’= \frac{1}{2} \times \left(B’B-CC’\right)\;$$ o que basta para concluirmos que $$ \mbox{Área de }\; [PAM]= \frac{1}{2}\times PA \times MM’ = \frac{1}{2}\times PA \times \frac{1}{2} \left(BB’-CC’\right) = $$ $$=\frac{1}{2}\times \left( \frac{PA \times BB’}{2} - \frac{PA \times CC’}{2}\right) = \frac{1}{2}\times \left(\mbox{Área de}\;[PAB] - \mbox{Área de}\;[PAC] \right) ;\;\;\;\;\;\mbox{(2) □}$$

Se tomássemos uma posição de $\;P\;$ tal que $\;AP\;$ entre $\;AB\;%$ e $\;AM\;$ com raciocínio análogo concluíríamos que $$ \mbox{Área de }\; [PAM]=\frac{1}{2}\times \left(\mbox{Área de}\;[PAC] - \mbox{Área de}\;[PAB] \right) $$