ABC;G:Relação enre as áreas de PGA, PGB e PGC.




[1]. Uma reta a passar pelo baricentro $\;G\;$ de um triângulo $\;ABC\;$ separa um vértice dos outros dois vértices. Das distâncias dos vértices a essa reta, uma delas é igual à soma das outras duas.

[2]. Tomando um ponto $\;P\;$ distinto de $\;A, \;B, \;C,\; G,\;$ podemos considerar os três triângulos $\;PGA, \;PGB, \; PGC. \;$ Prova-se que a área de um destes triângulos é igual à soma das áreas dos outros dois.

Detalhes da construção, passo a passo:
  1. É nos apresentado um triângulo $\;[ABC]\;$ e apresentamos
  2. os pontos $\;D,\;E,\;F,\;$ médios respetivamente de $\;a=BC, \; b=AC, \; c=AB;\;$
  3. as retas $\;AD, \; BE, \;CF \;$ e o ponto $\;G\;$ baricentro de $\;ABC;\;$
  4. uma reta qualquer a passar por $\;G\;$ que fica determinada por $\;G\;$ e por um ponto $\;P\;$ qualquer do plano $\;\{A,B,C\}$ distinto de qualquer dos $\;A, \;B, \; C, \; G\;$
  5. as perpendiculares a $\;PG\;$ tiradas por $\;A, \;F, \;B, \;D, \;C, \;E; \;$
  6. os pés $\;H_A, \; H_F, \;H_B, \; H_D, \;H_C, \:H_E \;$ dessas perpendiculares em $\;PG;\;$
  7. os segmentos $\;AH_A, \;FFH_F, \;BH_B, \;DH_D, \;CH_C, \;EH_E.\;$

    27 maio 2017, Criado com GeoGebra

    Demonstração:
    [1]

    Tome-se a reta $\;PG\;$ que divide o plano em dois semi-planos: No caso mais geral, em que $\;PG\;$, não contém qualquer dos pontos $\;A, \;B, \;C,\;$ dois incidirão num dos semi-planos e o outro, por exemplo $\;C, \;$ no outro semi-plano. Os triângulos $\;CH_CG\;$ e $\;FH_FG\;$ são retângulos, respetivamente em $\;H_C\;$ e em $\;H_F, \;$ e também $\; \angle H_F\hat{G}F = \angle H_C\hat{G}C\;$ por serem verticalmente opostos. São, por isso, semelhantes. Como $\;G\;$ é o baricentro de $\;ABC\;$ e $\;F\;$ é o ponto médio de $\;c=AB\;$, $\;CF\;$ é uma mediana e $\;CG=2 \times GF.\;$ $\;CG, \;FG\;$ são lados opostos aos ângulos retos dos triângulos semelhantes, sendo 2 a razão da semelhança que transforma $\;FH_FG\;$ em $\;CH_CG.\;$ $\;H_FF\;$ é a uma mediana do trapézio $\;ABH_BH_A\;$ e, assim, é $$\;FH_F = \displaystyle \frac{AH_A + BH_B}{2}\;$$ pelo que podemos concluir $\;AH_A+BH_B = 2FH_F = CH_C.\;$ □
  8. Demonstração
    [2]

    Ou seja, nas condições referidas acima
    (em que $\;C\;$ está num dos semi-planos determinados por $\;PG\;$ separado de $\;A, \;B\;$ que estão no outro)
    as alturas dos triângulos $\;PGA, \; PGB, \;PGC\;$ relativas ao lado $\;PG\;$ comum aos três relacionam-se assim $$CH_C = AH_A + BH_B$$ ou seja a altura do triângulo $\;PGC\;$ é igual à soma das alturas dos triângulos $\;PGA\;$ e $\;PGB.\;$
    As áreas dos triângulos $\;PGA, \;PGB, \;PGC,\;$ são respetivamente $$\frac{PG \times AH_A}{2}, \;\;\;\; \frac{PG \times BH_B}{2}, \;\;\;\; \frac{PG \times CH_C}{2}$$ Nas condições da figura inaugural em que $\;PG\;$ separa $\;C\;$ de $\;\{A, \;B\}\;$ $$\frac{PG \times (AH_A + BH_B)}{2}= \frac{PG \times AH_A}{2}+ \frac{PG \times BH_B}{2}=\frac{PG \times CH_C}{2} :$$ $$\; \mbox{Área de}\;[ PGC] = \mbox{Área de}\; [PGA] + \mbox{Área de}\; [PGB] \;\;\; \mbox{□}$$



Nota
Claro que se $\;PG\;$ separa $\;A\;$ de $\; \{B, \;C\}\;$ acontecerá $$ AH_A =BH_B+ CH_C $$ e, por isso, será $$\; \mbox{Área de}\;[ PGA] = \mbox{Área de}\; [PGB] + \mbox{Área de}\; [PGC] $$