Sobre igualdade de áreas de dois triângulos dentro de outro em certas condições.


Sobre um dos lados de um triângulo $\;[ABC],\;$ por exemplo $\;BC,\;$ tome-se um ponto $\;D\;$qualquer e por ele tirem-se paralelas aos dois outros lados. Tomem-se os pontos de intersecção de cada uma das paralelas com o lado concorrente com ela:
$\;E\;$ na intersecção de $\;AC\;$ com a paralela a $\;AB\;$ tirada por $\;D;\;$
$\;F\;$ na intersecção de $\;AB\;$ com a paralela a $\;AC\;$ tirada por $\;D.\;$
Demonstra-se que os triângulos $\;[CFD]\;$ e $\;[EBD]\;$ são equivalentes: $$ \mbox{Área de} \;[EBD] = \mbox{Área de} \;[CFD]$$

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  1. É dado um triângulo de vértices $\;A, B,\;C.$

    2. 16 maio 2017, Criado com GeoGebra

  2. Determinamos os pontos $\;D, \;E, \; F, \; $ nas condições do enunciado :
    $$\;D\in BC; \; E \in AC \wedge DE \parallel AB; \; F \in AB \wedge DF\parallel AC\;$$
  3. Mostra-se o azulado triângulo $\;[CFD]\;$ e um valor correspondente à sua área. Movendo $\;D\;$ em $\;BC\;$ constatará que esse valor varia com $\;D.\;$
  4. Mostra-se o avermelhado triângulo $\;[EBD]\;$ e o valor correspondente à sua área. Poderá agora mover $\;D\;$ constatando que as áreas dos dois triângulos variam com $\;D,\;$ mantendo-se iguais entre si para cada posição de $\;D, \;$ de acordo com a afirmação do enunciado. Será que esses dois triângulos têm a mesma área como os valores aproximados sugerem?
  5. Tiram-se paralelas a $\;BC\;$ por $\;E, \;F, \;A, \;$ e perpendiculares por $\;B, \;D,\;C.\;$ Chamamos a atenção para o paralelogramo $\;AFDE, \;$ bem como para o paralelogramo de diagonal BE que se compõe de 2 triângulos iguais a $\;EBD\;$; e o de diagonal $\;CF\;$ composto por dois triângulos iguais a $\;CFD\;$
  6. O paralelogramo de diagonal $\;BE\;$ é obviamente igual em área ao retângulo $\;BDIL,\;$ ou seja igual em área a dois triângulos $\;BDE\;$ de base $\;BD=IL\:;$ e altura $\;DI=BL.\;$ Do mesmo modo, se conclui que o retângulo$\;[CKJD]\;$ tem área igual a dois triângulos $\;[CFD]\;$
    Para provar que $$ \mbox{Área de} \;[EBD] = \mbox{Área de} \;[CFD]$$ basta provar que $$ \mbox{Área de} \;[ILBD] = \mbox{Área de} \;[CKFD]$$
  7. Para isso, usamos translações para determinar os retângulos $$\; {\mathfrak T}_{ \vec{BC}} ([ILBD])\;\;\; \mbox{e}\;\; \; {\mathfrak T}_{ \vec{DP}} ([CKJD])\;$$ que são partes de um retângulo de diagonal $\,NO\;$ que tem uma dimensão igual à base $\;BC= BD+DC\;$ do triângulo dado e outra igual à altura do triângulo dado ($\;FD=AE, \; [BDF]=[HEA],\;HE=BD, \; CK=MN.\;$) Por terem em comum um vértice $\;P\;$ sobre a diagonal que divide o grande retângulo em duas partes iguais, fácil se torna verificar que os dois retângulos coloridos têm áreas iguais, já que são iguais os triângulos que formam o retângulo de diagonal $\;NP\;$ e iguais são os que formam o retângulo de diagonal $\;OP\;$ □
Pode variar as posições dos vértices de $\;ABC\;$ para acompanhar as mudanças dos valores das diversas áreas e a persistência da relação estabelecida.
Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géométrie et ses applications. Librairie Delagrave. Paris:1964
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947