Prova de uma relação entre a área de um triângulo e as de outros dois.


É dado um triângulo de lados $\;BC=a, \;AC=b, \;AB=c, \;$ sendo agudos os ângulos $\; \angle A\hat{B}C = \angle B\hat{C}A.\;$ Tomando $\; D, E: BD \perp BC \wedge CE \perp BC \wedge BD=CE=2AH_A\;$ e os pontos $\;M, \;N\;$ médios, respetivamente, de $\;b=AC, \;c=AB.\;$
Nessas condições, demonstramos que $$ \mbox{Área de} \;[DBN] + \mbox{Área de} \;[CEM] = \mbox{Área de} \;[ABC]$$


Pode acompanhar as diversas etapas clicando nos botões da “Barra de Navegação para Passos de Construção” colocada ao fundo do retângulo de visualização. Sempre que fizer variar os dados, pode reiniciar (botão na direita alta) para voltar aos dados tal como aparecem na abertura.
  1. É dado um triângulo de vértices $\;A, B,\;C.$
  2. 11 maio 2017, Criado com GeoGebra

  3. Determinamos os pontos $\;D, \;E, \; M, \; N$ nas condições do enunciado : $$\; BD \perp BC, CE\perp BC, \;BD=CE= 2AH_A\;$$ $\;M\;$ ponto médio de $\;b=AC\;$ e $\;N\;$ ponto médio de $\;c=AB.\;$
  4. Ficam assinalados a negro os triláteros $\;ABC, \;DBN, \; CEM\;$ sobre as áreas dos quais se estabelece o resultado: $$ \mbox{Área de} \;[DBN] + \mbox{Área de} \;[CEM] = \mbox{Área de} \;[ABC]$$ que pretendemos demonstrar.
  5. Tomamos os pontos $\;M’, \;N’\;$ respetivamente pontos de intersecção de da reta $\;MN\;$ com $\;CE, \;BD.\;$
    Como $\; \vec{AB} =2\vec{AN} \wedge \vec{AC}= 2\vec{AN}, \;BC \parallel MN \wedge a =2 \overline{MN}.\;$ Por isso e, por ser $\; \overline{M’N’} = a, \;$ podemos dizer que $\; \overline{MM’} + \overline{NN’} = \displaystyle \frac{a}{2}.\;$
    Como $\;MM’\;$ é a altura do triângulo $\;CEM\;$ relativamente a $\;CE =2AH_A,\;$ a área de $\;CEM\;$ é $$\;\displaystyle \frac{CE\times MM’}{2} =AH_A\times MM’\;$$ Por idêntico raciocínio, concluímos que a área de $\;DBN\;$ é igual a $\; AH_a\times NN’\;$ e $$ \mbox{Área de} \; [CEM] + \mbox{Área de} \; [DBN] = AH_A \times(MM’ +NN’) = \frac{AH_A \times a}{2}$$ que é igual à área de $\; ABC\;$ de altura $\;AH_A\;$ relativa à base $\;a= BC\,$. □
  6. Mostra-se o triângulo $\;ABC\;$ com o valor calculado correspondente à sua área.
  7. Mostram-se os triângulos $\;DBN, \; CEM\;$ e acompanhados dos valores calculados correspondentes às suas áreas.
Pode variar as posições dos vértices de $\;ABC\;$ para acompanhar as mudanças dos valores das diversas áreas e a persistência da relação estabelecida.
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947