Comparação de áreas de dois triângulos em que um deles é obtido a partir do outro.

Problema de construção e verificação de razão entre áreas:
É dado um triângulo de lados $\;BC=a, \;AC=b, \;AB=c.\;$ Tomando um sentido em volta do triângulo — $\;B - C -A \;$ por exemplo, — prolonguemos cada lado de um comprimento igual a ele, assim determinando os pontos extremos seguintes: $$A’: \vec{BA’}=2.\vec{BC}\; , \;\;\;\; B’ : \vec{CB’} = 2.\vec{CA}\; , \;\;\;\; C’ : \vec{AC’} = 2.\vec{AB}.$$ Demonstrar que $$ \mbox{Área de} \;[A’B’C’] = 7 \times \mbox{Área de} \;[ABC]$$

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  1. É dado um triângulo de vértices $\;A, B,\;C.$

    2. 30 abril 2017, Criado com GeoGebra

  2. Determinam-se os pontos $\;A’, \;B’, \;C’\;$ para os quais $$A’ : \;\overrightarrow{BA’}=2. \overrightarrow{BC}\;, \;\;\; B’ : \;\overrightarrow{CB’}=2. \overrightarrow{CA}\;,\;\;\; C’:\;\overrightarrow{AC’}=2. \overrightarrow{AC}$$ $$a=BC=CA’, \;\;\; b=AC=AB’, \;\;\; c=AB=BC’$$
  3. Por observação simples da figura, não é fácil estabelecer a relação entre as áreas de $\;A’B’C\;$ e de $\;ABC.\;$ Para estabelecermos algumas relações entre áreas só temos as igualdades $$a=BC=CA’, \;\;\; b=AC=AB’, \;\;\; c=AB=BC’$$ e será, por isso, preciso dividir de algum modo os triângulos $\;A’B’C, \;B’C’A , \;C’A’B\;$
  4. Tomam-se os segmentos de reta $\;AA’, \;BB’, \;CC’.\;$ e obtemos uma divisão de $\;A’B’C’\;$ em 7 triângulos: $\;ABC, \;ACA’, \;A’B’A, \;BAB’, \;B’C’B, \;C’CB, \;C’A’C\;$ que resolve o problema, como veremos.
  5. Chamamos $\;p1\;$ ao triângulos $\;ABC\;$
  6. O triângulo $\;ACA’\;$ ou $\;p2\;$ é equivalente ao triângulo $\;ABC\;$ ou $\;p1\;$, porque $\;A\;$ é um vértice comum e são iguais os lados a ele opostos $\;BC\;$ e $\;CB’\;$ estão sobre uma mesma reta e a distância na perpendicular de $\;A\;$ a $\;BC\;$ é a mesma de $\;A\;$ a $\;CA’: $ $$ p1 \simeq p2$$
  7. Olhemos agora para $\;p2 , \;p3\;$ como triângulos de vértice $\;A’\;$ opostos aos lados $\;CA, AB’\;$ iguais a $\;b\;$ e, por isso, $$p2 \simeq p3\;$$ E lembremos que, se a área de $\;p1\;$ é igual à área de $\;p2\;$ e a de $\;p2\;$ é igual à de $\;p3\;$ então a área de $\;p1\;$ é igual à de $\;p3\;$
  8. Podemos olhar para os triângulos $\;p4\;$ e $\;p1\;$ a partir do vértice $\;B\;$ comum e lados $\;AB’, \;CA\;$ a ele opostos e iguais a $\;b\;$ o que garante que $$p4 \simeq p1$$
  9. Os triângulos $\;p4, \;p5\;$ têm um vértice $\;B’\;$ comum e os lados $\;AB,\;BC’\;$ a ele opostos e iguais a $\;c:\;$ $$p4 \simeq p5$$
  10. $\;p1, \;p6 \;$ têm o vértice $\;C\;$ comum e lados a ele postos $\;AB, \;BC’\;$ e iguais a $\;c:\;$ $$p1 \simeq p6$$
  11. E finalmente $\;p6, \;p7\;$ têm um vertice $\;C’\;$ comum a que se opõem os lados $\;BC, \; CA’\;$ iguais a $\;a:\;$ $$p6 \simeq p7$$
Ficou assim provado que são equivalente os 7 triângulos $p1, \;p2, \;p3, \;p4, \;p5, \;p6, \;p7\;$ que compõem o triângulo $\;A’B’C’\;$ e podemos dar por demonstrado que $$ \mbox{Área de} \;[A’B’C’] = 7 \times \mbox{Área de} \;[ABC]$$ □
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947