Divisão de um paralelogramo em 3 polígonos equivalentes com um vértice comum

Problema de construção:
Dado um paralelogramo $\;ABCD,\;$ determinar um ponto $\;O\;$ de uma das diagonais - $\;AC\;$ - para o qual $\;OA, \;OB, \;OD\;$ dividem o paralelogramo em três polígonos equivalentes

Na construção, apresentada abaixo, pode ir de etapa em etapa para conjecturar e verificar a validade da determinação de $\;O,\;$ com recurso à “Barra de Navegação para Passos de Construção” colocada ao fundo do retângulo de visualização. Sempre que fizer variar os dados, pode reiniciar para voltar aos dados tal como aparecem na abertura.
  1. É dado um paralelogramo de vértices $\;A, B\;C, \;D.$
  2. 28 abril 2017, Criado com GeoGebra

  3. Mostra-se agora as diagonais $\;AC,\;BD\;$ do paralelogramo dado e as distâncias de $\;B, \;D\;$ a $\;AC,\;$ que são iguais por serem catetos de triângulos retângulos, $\;BEI, \; DFI\;$ de hipotenusas $\;BI, ID\;$ iguais, opostos a ângulos $\;I\;$ verticalmente opostos.
  4. Para um ponto $\;P\;$ qualquer sobre $\;AC, \;$ os triângulos $\;ABP\;$ e $\;PDA\;$ são equivalentes- base $\;AP\;$ comum e alturas $\;BE, \; DF\,$ iguais.
  5. O paralelogramo $\;ABCD\;$ fica dividido em dois triângulos equivalente $\;ABP, \; PDA\;$ e um quadrilátero $\;BCDP.\;$ Para que posição de $\;P\;$ sobre a diagonal $\;AC\;$ é que essas três partes têm a mesma área? Pode movimentar $\;P\;$ para conjecturar.
  6. O ponto $\;O\;$ (ou a posição de $\;P\;$) que procuramos determinar terá de ser tal que: $$\mbox{Área de} [ABO] = \mbox{Área de} [ODA] =\;\;\;\;\;\;\;\mbox{Área de} [BCDO] $$ $$\mbox{Área de} [ABO] = \mbox{Área de} [ODA] = \overbrace{\mbox{Área de} [BCO] + \mbox{Área de} [OCD]}$$ ou $$\frac{ AO \times BE}{2} =\frac{AO \times DF}{2} = \frac{OC \times BE}{2} + \frac{OC \times DF}{2}$$ o que implica $$AO = 2\times OC.$$ Como $\;AO+OC= AC, \;$ é $\;3\times OC = AC,\;$ a posição de $\;P\;$ (ou o ponto $\;O\;$) que procuramos, é determinada pela construção da divisão de $\;AC\;$ em 3 partes iguais. □
Deslocando o ponto $\;P\;$ sobre $\;AC \;$ verificará que, quando e só quando $\;P\;$ toma a posição do determinado $\;O\;$, as áreas das três partes (azul,verde, vermelha) são iguais.
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947