Divisão de um triângulo em 3 triângulos de áreas proporcionais a três segmentos dados

Sabemos que o baricentro $\;G,\;$ ponto comum às três medianas de um triângulo e no interior de $\;ABC\;$ é o único para o qual os triângulos $\;[GBC], \; [GAC], \;[GAB]\;$ são iguais em área (ou equivalentes) ou seja com áreas proporcionais a três segmentos iguais. Nesta entrada, trataremos do problema de determinação por construção de um ponto $\;O\;$ no interior de um triângulo $\;ABC\;$ para o qual as medidas das áreas dos triângulos $\;OBC, \;OCA, \;OAB \;$ são proporcionais às medidas dos três comprimentos (ou números) $\;m, \; n, \;p:\;$ $$\frac{[OBC]}{m}=\frac{[OCA]}{n}=\frac{[OAB]}{p}$$
Nota: Já o temos feito sem saber se é convencional. Continuamos a usar o símbolo “$\; \simeq\;$” para assinalar que duas figuras são equivalentes ou que têm a mesma área. Também já usámos “$\;[ABC]\;$ para designar a área (e sua medida em comparação com unidade convencionada) do triângulo $\;ABC.\;$ E continuamos.
Na resolução do problema de que nos ocupamos, recorremos ao processo usado na entrada anterior.
  1. São-nos dados, para além de um triângulo $\;ABC\;$ de lados $\;a=BC, \;b=CA, \;c=AB,\;$ três segmentos $\;m\;$ vermelho, $\;n\;$ azul e $\;p\;$ verde.
    Pode sempre fazer variar os dados e pode sempre reiniciar para voltar aos dados tal como aparecem na abertura.

    2. 18 abril 2017, Criado com GeoGebra

  2. Se o ponto $\;O\;$ que procuramos está no interior de $\;ABC\;$ há-de incidir numa reta que passe por $\;A\;$ e por um ponto do lado $\;a=BC\;$ a que chamamos $\;A’.\;$
    A existir $\;O\;$ satisfazendo as condições requeridas, existem os triângulos $\;OAB\;$ e $\;OCA\;$ com um lado $\;OA\;$ comum aos dois, cujas áreas $\;[BOA], \;[CAO]\;$ satisfazem a seguinte igualdade $$\frac{[OAB]}{p}=\frac{[OCA]}{n} \;\; \mbox{ou} \frac{[OAB]}{[OCA]}= \frac{p}{n}$$ Será que basta dividir $\;BC=a\;$ em dois segmentos na razão $$\; \frac{BA’}{A’C} =\frac{p}{n}$$ para obter $\;A’?\;$ Se assim for, bastará tomar $\;(B,p), \;(C, n)\;$ e dois raios $\;p, \;n,\;$ com a mesma direção e sentido contrários para obtermos $\;A’: nBA’= pA’C\;$ como se mostra nesta segunda etapa.
  3. Sendo $\;OA\;$ lado comum aos triângulos $\;OAB\;$ e $\;OCA\;$ e tirando por $\;B\;$ e por $\;C \;$ perpendiculares a $\;AA’:\;$ $$\frac{[OAB]}{[OCA]} = \frac{p}{n} $$ implica $$\frac{OA\times BE}{OA\times CD} = \frac{BE}{CD}= \frac{p}{n}$$ Como $\;\angle DC\hat{A’} = \angle EB\hat{A’} \;$- verticalmente opostos- os triângulos $\;DCA’\;$ - retângulo em $\;D,\;$ e $\;EBA’\;$ - retângulo em $\;E\;$ são semelhantes e a razão de semelhança é $$\frac{BE}{CD}= \frac{p}{n}.$$ Fica assim confirmado que o ponto $\;A’,\;$ assim determinado por construção, serve: o ponto $\;O\;$ que procuramos está em $\;AA’\;$
  4. Raciocínios semelhantes permitem determinar $\;B’,\;C’\;$ a partir de considerarmos que $$\frac{AB’}{B’C}=\frac{p}{m} \implies \frac{[OAB]}{[OBC]}=\frac{p}{m} $$ e $$\frac{AC’’}{C’B}=\frac{n}{m} \implies \frac{[OCA]}{[OBC]}=\frac{n}{m} $$ O ponto $\;O\;$ que procuramos é comum a $\;AA’, \;BB’, \;CC’\;$
  5. Realçamos nesta etapa os três triângulos $\;OBC, \; OCA, \;OAB, \;$ cujas áreas são proporcionais respetivamente aos comprimentos $\;m, \; n, \; p\;$
  6. Finalmente apresentamos alguns textos que usam os valores das medidas dos elementos na figura, bem como cálculos das razões. Se deslocar algum dos dados e/ou elementos da construção, pode ver como os as medidas e as razões entre elas se comportam.
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947