Só as medianas dividem um triângulo em 3 triângulos iguais em área
Sabemos já que o baricentro $\;G\;$ de um triângulo $\;ABC\;$ é tal que $\;[GBC], \; [GAC], \;[GAB]\;$ são iguais em área (ou equivalentes). Haverá outros pontos $\;O\;$ do interior de $\;[ABC]\;$ para os quais $\;[OBC], \; [OAC], \; [OAB]\;$ são equivalentes?
Nota:
Já o temos feito sem saber se é convencional. Continuamos a usar o símbolo “$\; \simeq\;$” para assinalar que duas figuras são equivalentes ou que têm a mesma área.
A resposta à pergunta acima é não!
Haver um ponto $\;O\;$ para o qual $\;[OBC] \simeq [OAC] \simeq [OAB],\;$ implica que, por exemplo, as alturas relativas ao lado $\;OA\;$ comum a $\;OAC\;$ e a $\;OAB\;$ são iguais (já que $\;[OAC] \simeq [OAB] \Leftrightarrow OA \times BE =OA \times CD\;$ em que $\;E\;$ e $\;D\;$ são os pés das perpendiculares a $\;OA]\;$ tiradas por $\;B\;$ e por $\;C,\;$ respetivamente)
Se tommarmos o ponto $\;A’\,$ de intersecção de $\;AO\;$ com $\;BC\;$ são iguais os triângulos $\;BA’E,\; DA’C$ retângulos em $\;E\;$ e em $\; D\;$ ($\;OA \perp BE\;$ e $\; OA \perp CD\;$ e $\;BE =CD\;$). Por isso, os lados de $\;BA’E,\; DA’C\;$ são iguais cada um a cada um; para além de $\;BE=CD,\;$ também $\;EA’=DA’\;$ e $\;BA’=A’C\;$, ou seja $\;A’\;$ é o ponto médio de $\;BC,\;$ e $\;AA’\;$ é a mediana do triângulo $\;ABC\;$ que liga o vértice $\;A\;$ ao ponto médio do lado oposto $\;BC\;$
Do mesmo modo, se verá que para ser $\;OBC \simeq OAC\;$ $\;O\;$ é ponto da mediana tirada de $\;C\;$ para o ponto médio de $\;AB.\;$ …
Assim se demonstra que um ponto $\;O\;$ para o qual $\;[OBC] \simeq [OAC] \simeq [OAB]\;$ é um ponto comum às medianas do triângulo $\;ABC\;$ e, por isso, é o seu baricentro. □
Só há um ponto no interior de $\;ABC\;$ que o divide em três triângulos iguais em área que é o baricentro.
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947