Divisão de um triângulo em triângulos equivalentes.

Qualquer das medianas um triângulo $\;[ABC]\;$ divide-o em dois triângulos equivalentes. Divisões em triângulos equivalentes com o baricentro como vértice comum.
  1. Na nossa construção dinâmica, partimos de um ângulo $\;[ABC].\;$

    Recorremos a um seletor $\; {\bf \fbox{n=…}}\;$ no topo da janela de visualização, para seguir os passos da construção. Poderá sempre reiniciar a construção clicando no botão na direita alta da janela.

    13 abril 2017, Criado com GeoGebra

  2. Tomamos os pontos$\;D,\;E, \;F\;$ médios dos lados $\;BC,\;CA, \; AB\;$ do triângulo $\;ABC.\;$
  3. As medianas do triângulo $\;ABC\;$ são os segmentos de reta que unem cada um dos vértices ao ponto médio do lado oposto: $\;AD, \; BE,\;CF.\;$ Sabemos que a mediana $\;CF\;$ divide o triângulo $\;ABC\;$ em dois triângulos $\;CAF\;$ e $\;BCF\;$ de igual área já que $\;AF=FB\;$ e a altura tirada na perpendicular a $\;AB\;$ é só uma.
  4. O mesmo acontece para $\;AD:\;\;\; [ABD] \simeq [ADC]\;$
  5. E para $\;BE:\;\;\; [ABE] \simeq [BCE]\;$
  6. Consideramos agora o ponto $\;G\;$ de intersecção das três medianas a que chamamos baricentro (ou centro de gravidade) e que já foi referido várias vezes.
  7. Por razões análogas às usadas para concluir que $\;[CAF] \simeq [BCF]\;$ podemos concluir que, por ser $\;AF=FB\;$ e a altura comum na perpendicular única a $\;AB\;$ tirada por $\;G, \; \;\;\;\;[GAF] \simeq [BGF]\;$
    Se a dois triângulos iguais em área $\;[FCA] \simeq [BCF]\;$, tirarmos partes iguais em área $\;[FGA] \simeq [BGF]\;$ obtemos figuras iguais em área: $\;[AGC]\simeq [BCG].\;$
    O mesmo acontece com os outros pares de triângulos tomados de modo análogo e, assim, podemos concluir que os triângulos $\;GAB, \;GBC, \;GCA \;$ são iguais em área $$ [GAB]\simeq [GBC] \simeq [GAC] $$
  8. Já no ponto anterior (7) vimos que $\;[GAF] \simeq [BGF].\;$ E o mesmo processo serve para concluir que $\;[GBD] \simeq [CGD]\;\; \mbox{e que }\;\; [GCE] \simeq [EAC]\;$
    E concluímos que, por ser $[ABG] \simeq [BCG] \simeq [GCA]$ e ser $\;[ABG] \;$ igual em área a $\;2[AFG]\;$ ou a $\;2[FBG]\; $ ao mesmo tempo que $\;[BCG]\;$ é igual em área a $\;2[BDG]\;$ ou a $\;2[GDC]\;$ .......
    resulta óbvio o seguinte $$[GAF]\simeq [GFB] \simeq [GBD] \simeq [GDC] \simeq [GCE] \simeq [GEA]$$ ou seja que as medianas de um triângulo o dividem em seis triângulos equivalentes (ou de igual área). □
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947