perímetros e áreas de retângulos (máximos e mínimos)

Já abordámos por várias vezes problemas de perímetros e áreas e o que hoje voltamos a trazer já foi apresentado em geometria das desigualdades entre médias que dava acesso a um texto sobre o conceito de média (aritmética, geométrica, harmónica), resolução da equação do 2º grau, problemas de máximos e mínimos cuja leitura recomendamos.
Mais recentemente, algumas complicações ao nível das dificuldades com exportações de construções para serem vistas via web (html), empurraram-me para voltar a construções simples a partir de exercícios que, sendo no essencial os mesmos de sempre, podem ser resolvidos de forma diferente e sugerirem novas conexões.

Apresentam-se duas construções dinâmicas:
  • á esquerda, ilustra-se o problema: dos retângulos com um certo perímetro, qual deles tem maior área?
  • à direita, trata-se do problema: dos retângulos com uma dada área qual tem o menor perímetro?
    1. ESQUERDA. Tomamos $\;A(0,0),\; P(p,0),\; B(x,0):$ $ 0\leq x\leq p,\; \; C(x,p-x)\;$ e o retângulo $\;ABCD\;$ tem perímetro $\;2AP=2p\;$ constante.
      A área de cada um dos retângulos $\;ABCD\;$ é dada por $\;x(p-x)\;$ e tomamos os pontos $\;F(x, x(p-x))\;$ que descrevem uma parábola quando $\;B(x,0)\;$ toma as posições do segmento de reta $\;AP\;$ ou seja quando x toma valores entre $\;0\;$ e $\;p.\;$ A posição de $\;F\;$ correspondente ao ponto mais alto ou correspondente à maior área é $\;\displaystyle F\left(\frac{p}{2}, \; \frac{p}{2}\times\frac{p}{2} \right)\;$
    2. DIREITA.Tomamos $\;\displaystyle A(0,0),\; B(a,0), \; C(a,a),\; D(0,a)$ vértices de um quadrado de lado $\;\displaystyle a\;$ e área $\;\displaystyle a^2.\;$ Os retângulos com área igual $\;\displaystyle a^2\;$ têm dimensões $\;\displaystyle |x|, \; |y|\;$ tais que $\;x.y= a^2\;$ inversamente proporcionais. Tomando $\;\displaystyle A(0,0)\;$ para vértice o vértice oposto teria de ser $\;\displaystyle F\left( x, \frac{a^2}{x} \right),\;$ que incidem numa hipérbole
      Os restantes serão $\;\displaystyle E(x,0), \;G \left(0,\frac{a^2}{x} \right).\;$ O ponto $\;\displaystyle C\left( a,\; \frac{a^2}{a} \right)\;$ é obviamente um dos pontos $\;\displaystyle F\left(x,\; \frac{ a^2}{x}\right)\;$ e os perímetros $\;\displaystyle 2x+ 2\frac{a^2}{x} \;$ dos retângulos satisfazem a condição$\;\displaystyle 2x+ 2\frac{a^2}{x}\geq 4a\;$ .
    As animações que pode activar ilustram os resultados. O que nos interessou foi chamar a atenção para a ligação entre a parábola e a hipérbole com os problemas (entre os números de soma constante quais têm produto máximo? entre os números de produto constante quais são os que têm menor soma?)
    Já tratámos de uma boa demonstração nas referências que iniciam esta entrada, mas não resitimos a dar notícia dos resultados elementares que Caronnet usa nas suas demonstrações:
    Por ser $$\;(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy \;\; \mbox{ e} \;\;(x-y)^2= x^2+y^2 -2xy$$ é $$ (x+y)^2- (x-y)^2 = 4xy $$ que nos permite dizer que $$ (x+y)^2 \leq 4xy \;\;\mbox{ e}\;\; (x+y)^2= 4xy \;\; \mbox{ quando e só quando} \;\;(x-y)^2=0 \;\; \mbox{ que é o mesmo que} \;\; x=y$$ o que pode ser lido assim: dos retângulos de dimensões $\;x, y\;$
    Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947