GEOMETRIA DINÂMICA:

INVERSÃO


Inversão [3/8/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/08/invers.html

O quadrado e a raiz quadrada [4/8/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/08/o-quadrado-e-ra-quadrada.html

Inversão de uma reta [4/8/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/08/invers-de-uma-recta.html

O mesmo, de outro modo [4/8/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/08/o-mesmo-de-outro-modo.html

Determinar o inverso de A [9/8/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/08/determinar-o-inverso-de.html

Inverter é ver ao espelho. O quê? [10/8/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/08/inverter-ver-ao-espelho.html

A inversa da concêntrica verde [10/8/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/08/inversa-da-conc-verde.html

Semi-retas inversamente paralelas [10/8/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/08/semi-rectas-inversamente-paralelas.html

O quadrado circunscrito invertido [12/8/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/08/o-quadrado-circunscrito-invertido.html

A inversão do triângulo inscrito [12/8/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/08/invers-do-tri-inscrito.html

Perpendicularidades e inversões [19/8/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/08/perpendicularidades-e-invers.html

Ortogonalidade, potência, pólo e polar [20/8/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/08/ortogonalidade-pot-p-e-polar.html

Um lugar geométrico – o eixo radical [22/8/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/08/um-lugar-geom.html
Um exercício sem alvo [27/8/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/08/um-exerc.html

Problema de Monge [31/8/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/08/problema-de-monge.html

Tangência e ortogonalidade [5/9/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/09/ortogonalidade.html

Uma gota de engano (cardióide) [12/9/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/09/uma-gota-de-engano.html

Voltar atrás? [13/9/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/09/voltar-atr.html

O tempo que não temos? [14/9/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/09/quanto-tempo.html

Do pólo e polar à circunferência [17/9/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/09/da-polar-circunferncia.html

Conservação de ângulos na inversão [19/9/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/09/conserva-de-na-invers.html

Circunferência tangente a outras duas (exerc. interat.) [23/9/07]
http://geometrias.blogspot.com/2007/09/conserva-de-na-invers.html


2013



[24.5.13]: Exercício Interativo: Determinar a tangente a uma circunferência num dos seus pontos
http://geometrias.blogspot.pt/2013/05/exercicio-interativo-determinar.html

[27.5.13]: Exercício interativo: Com compasso, determinar a imagem de P por inversão relativamente a uma circunferência dada.
http://geometrias.blogspot.pt/2013/05/blog-post_27.html

[28.5.13]: Exercício interativo: Determinar o centro da circunferência, usando compasso
http://geometrias.blogspot.pt/2013/05/exercicio-interativo-determinar-o.html

[30.5.13]: Exercício interativo: Desenhar a circunferência que passa por três pontos dados.
http://geometrias.blogspot.pt/2013/05/exercicio-interativo-desenhar.html

[5.6.13]: Exercício interativo: Determinar a interseção de AB com CD, usando circunferências.
http://geometrias.blogspot.pt/2013/06/exercicio-interativo-determinar.html

[7.6.13]: Exercícios interativos: Soluções (I) - Determinação dos centros das homologias que transformam um quadrlátero num losango
http://geometrias.blogspot.pt/2013/06/exercicios-interativos-solucoes-i.html

[10.6.13]: Exercícios interativos: Soluções(II) - Determinação do quinto ponto de uma reta..
http://geometrias.blogspot.pt/2013/06/exercicios-interativos-solucoesii.html

[11.6.13]: Exercícios interativos: Soluções(III) - Tangente a uma circunferência num dos seus pontos sem acesso ao centro
http://geometrias.blogspot.pt/2013/06/exercicios-interativos-soluoesiii.html

[13.6.13]: Exercícios interativos: Soluções (IV) - Inversão relativamente a uma circunferência só com compasso.
http://geometrias.blogspot.pt/2013/06/exercicios-interativos-solucoes-iv.html

[14.6.13]:Exercícios interativos: Soluções (V) - Centro da circunferência só com compasso
http://geometrias.blogspot.pt/2013/06/exercicios-interativos-solucoes-v.html

[18.6.13]:Exercícios interativos; Soluções (VI)
http://geometrias.blogspot.pt/2013/06/exercicios-interativos-solucoes-vi.html

[20.6.13]: Exercícios interativos: Soluções (VII)
http://geometrias.blogspot.pt/2013/06/exercicios-interativos-solucoes-vii.html
[26.6.13]: Teorema de Mohr-Mascheroni
http://geometrias.blogspot.pt/2013/06/teorema-de-mohr-mascheroni.html

[28.6.13]: Determinar a circunferência que passa por dois pontos e corta uma reta segundo um ângulo dado.
http://geometrias.blogspot.pt/2013/06/determinar-circunferencia-que-passa-por.html

[29.6.13]: Usando a inversão para determinar a circunferência que passa por um ponto e é tangente a duas circunferências dadas
http://geometrias.blogspot.pt/2013/06/usando-inversao-para-determinar.html/a>

[3.7.13]: Com recuso à inversão, demonstrar o Teorema de Ptolomeu.
http://geometrias.blogspot.pt/2013/07/com-recuso-inversao-demonstrar-o.html

[9.7.13]: Inversão dos círculos de Apolónio (de um triângulo); propriedades
http://geometrias.blogspot.pt/2013/07/inversao-dos-circulos-de-apolonio.html

[11.7.13]: De um triângulo qualquer para um equilátero: que inversão?
http://geometrias.blogspot.pt/2013/07/de-um-triangulo-qualquer-para-um.html

16.7.13
Determinar circunferências que passam por P e são tangentes a duas circunferências dadas

17.7.13
Inscrever um losango de área dada num paralelogramo dado

23.7.13
Inversão (e diversão)

29.7.13
Notas: noção e notação de inversão e determinação do inverso com recurso ao teorema de Thales

31.7.13
Plano inversivo. A inversão é uma involução do plano inversivo:-)

1.8.13
Inversão e ortogonalidade.

5.8.13
Inversão ou reflexão relativamente a uma circunferência

7.8.13
A composta de duas inversões concêntricas é uma homotetia com o mesmo centro

8.8.13
Inversão de uma reta

9.8.13
Inversão de uma circunferência que passa pelo centro de inversão

11.8.13
Inversa de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão

13.8.13
Inverter feixes de retas (concorrentes e paralelas)

14.8.13
Inverter segmentos de reta ou de circunferência e quadrados,... por exemplo

18.8.13
A inversa de uma circunferência de centro C que passa pelo centro O de inversão interseta OC no ponto médio de OC'

19.8.13
Conservação de ângulos por inversão (1)

20.8.13
Conservação de ângulos por inversão (2)

21.8.13
Conservação dos ângulos por inversão (ou reflexão) (3)

22.8.13
Circunferências tangentes invertem-se em circunferências tangentes. Circunferências ortogonais invertem-se em circunferências ortogonais

23.8.13
Dois inversos relativamente a uma inversão de centro O, por uma inversão de centro P são transformados em inversos por uma inversão relativamente à inversa da circunferência de centro O

26.8.13
Relação entre PQ e P'Q', sendo P' inverso de P e Q' inverso de Q

28.8.13
Razão dupla de 4 pontos concíclicos (apoio de memória)

29.8.13
A inversão preserva a razão dupla de quatro pontos (1)

30.8.13
A inversão preserva a razão dupla de quatro pontos (2)

1.9.13
A inversão preserva a razão dupla de quatro pontos (3)

6.9.13
Duas circunferências não concorrentes podem inverter-se em circunferências concêntricas

6.9.13
Três circunferências podem ser invertidas em circunferências de centros colineares

10.9.13
A importância da inversão para a resolução de problemas geométricos: um belo exemplo.

15.9.13
Circunferências ortogonais a uma de que se conhece o diâmetro

16.9.13
Dois círculos inversos um do outro podem ser invertidos em dois círculos geometricamente iguais.

17.9.13
O produto das diagonais de um quadrilátero convexo é no máximo igual à soma dos produtos dos seus pares de lados opostos

23.9.13
A inversão na demonstração de um segundo Teorema de Ptolomeu

25.9.13
Determinar a envolvente de uma família de circuncírculos com recurso à inversão

27.9.13
Construir uma cadeia de Pappus usando uma inversão

30.9.13
Arbelos: Teorema de Pappus - demonstração usando inversão

7.10.13
Determinar circunferências tangentes a duas outras tangentes entre si - um caso simples.

7.10.13
Inversão e Homotetia.

9.10.13
Determinar o lugar geométrico do segundo ponto de interseção das circunferências tangentes a duas, tangentes entre si, e que passam por um ponto do eixo radical destas duas circunferências dadas.

11.10.13
Teorema de Feuerbach (nota sobre a circunferência de 9 pontos)

23.10.13
Teorema de Feuerbach (enunciado e demonstração)

28.10.13
Construção de cadeias de Steiner (em circunferências concêntricas)

30.10.13
Cadeias de Steiner entre circunferências não concêntricas e não concorrentes

2.11.13
Mais uma aplicação da inversão (a experimentar em html5)

4.11.13
Circunferências de Apolónio - uma propriedade

8.11.13
Máquina: Inversor (de Peaucellier, Lipkin, Hart,…)

11.11.13
Inversão e antiparalelismo

15.11.13
Antiparalelas invertem-se em paralelas

18.11.13
Triângulo qualquer pode ser invertido em triângulo retângulo

26.11.13
Inverter segmentos de uma reta em segmentos iguais

29.11.13
Determinar a inversão que relaciona duas circunferências dadas (1)

3.12.13
Determinar a inversão que relaciona duas circunferências dadas (2)


9.12.13
Determinar inversão que relaciona duas circunferências dadas (3)

12.12.13
Coordenadas, equações e inversão (1.retirculos)

13.12.13
Inversos de 5 pontos não definem a inversa da cónica por eles definida

18.12.13
Coodenadas, equações, inversão (2. cónicas: hipérbole)

19.12.13
Coordenadas, equações e inversão (3. Elipse e hipérbole; lemniscatas)

20.12.13
Coordenadas, equações e inversão (4. Parábola)

31.12.13
Reflexões

3.1.14
Casos de simetria de figuras. Não caso da inversão/reflexão