2014:
EUCLIDES - Instrumentos e métodos de
resolução de problemas de construção


  1. 12.1.14
    Instrumentos euclideanos

  2. 14.1.14
    O compasso moderno a partir do postulado. A existência por construção.

  3. 16.1.14
    Com régua e compasso euclidianos, transferir distâncias

  4. 20.1.14
    Construções e existência: o lugar geométrico como método?

  5. 22.1.14
    Método dos lugares geométricos para solucionar problemas de construção geométrica

  6. 24.1.14
    Lista de lugares geométricos básicos: uma ilustração.

  7. 26.1.14
    Os 3º e 4º lugares geométricos da lista

  8. 1.2.14
    O 5º lugar geométrico da lista: - dos pontos P tais que A, B e ângulo APB são dados.

  9. 6.2.14
    O 6º lugar geométrico da lista - pontos P tais que PA=k.PB, dados A, B e k≠1

  10. 8.2.14
    O 7º lugar geométrico da lista - pontos P tais que é constante a razão das suas distâncias a duas retas concorrentes

  11. 11.2.14
    O oitavo lugar geométrico da lista - P tais que PA2-PB2 constante.

  12. 16.2.14
    O 9º lugar geométrico da lista: P tais que PA2+PB2=k2

  13. 20.2.14
    Construção do 9º lugar geométrico
    O lugar geométrico dos pontos para os quais a soma dos quadrados das disâncias a dois pontos dados é uma constante é uma circunferência de centro no ponto médio do segmento de reta definido pelos dois pontos dados

  14. 22.2.14
    Resolução de problemas de construção usando (a lista de) lugares geométricos (1)
    Dados três pontos A,B,C e um ângulo γ, determinar a circunferência que passa por dois deles A e B e subtende o ângulo γ no terceiro ponto C.

  15. 27.2.14
    Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção. (2)
    Determinar um ponto cujas distâncias a três retas a,b,c dadas tenham razões t/u,u/v,t/v dadas.

  16. 1.3.14
    Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (3)
    Determinar um ponto cujas distâncias a três pontos A,B,C dados tenham razões x/y,y/z,x/z dadas.

  17. 3.3.14
    Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (4)
    Construir um triângulo ABC de que são dados o lado AB, a altura relativa ao lado dado e a soma dos quadrados dos lados AC e BC

  18. 4.3.14
    Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção(5)
    Construir um triângulo ABC de que são dados o lado AB, o ângulo γ oposto ao lado dado e a diferença dos quadrados dos lados AC e BC

  19. 5.3.14
    Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção. (6)
    Construir um triângulo ABC de que são dados o lado AB, a altura e a mediana relativas ao lado dado

  20. 6.3.14
    Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (7)
    Construir uma circunferência tangente a duas retas paralelas dadas e a passar por um ponto dado.

  21. 8.3.14
    Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (8)
    Construir um triângulo de que se conhecem um ângulo, o lado a ele oposto e a mediana relativa ao lado conhecido.

  22. 14.3.14
    Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (9)
    Por dois pontos de uma circunferência tirar duas cordas paralelas de que se conhece a soma dos seus comprimentos.

  23. 15.3.14
    Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (10)
    Determinar uma circunferência de um dado raio e centro sobre uma dada reta que seja tangente a uma circunferência dada.

  24. 16.3.14
    Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (11)
    Determinar um triângulo retângulo inscrito numa dada circunferência e tal que os seus catetos passem por dois pontos dados.

  25. 18.3.14
    Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (12)
    Determinar uma circunferência com um dado raio, que passa por um ponto dado e é seccionada por uma reta segundo uma corda de comprimento dado.

  26. 21.3.14
    Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (13)
    Determinar uma circunferência tangente a uma dada reta num ponto dado e a uma circunferência dada.

  27. 27.3.14
    Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção(14)
    Determinar uma tangente a uma dada circunferência cortada por uma reta dada a uma dada distância do ponto de tangência.

  28. 28.3.14
    Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (15)
    De um quadrilátero ABCD, inscritível numa circunferência, conhecemos um vértice A, a amplitude do ângulo ∠Â e os comprimentos de um dos lados adjacentes ao ângulo AB e das diagonais AC,BD. Determinar os restantes vértices B,C,D desse quadrilátero.

  29. 2.4.14
    Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (16)
    Por um ponto dado tirar uma reta a intersetar uma dada circunferência em pontos tais que as suas distâncias a uma reta dada têm uma dada soma

  30. 3.4.14
    Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (17a)
    Determinar um ponto a partir do qual se vêem segundo ângulos iguais dois segmentos AB e BC de uma dada reta

  31. 5.4.14
    Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (17a')
    Determinar o lugar geométrico dos pontos a partir dos quais se vêem segundo ângulos iguais dois segmentos AB e BC de uma dada reta a

  32. 6.4.14
    Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (17b)
    Determinar o lugar geométrico dos pontos a partir dos quais se veem segundo ângulos iguais dois segmentos AB e CD sobre uma dada reta.

  33. 8.4.14
    Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (17c)
    Determinar um ponto a partir do qual se veem segundo ângulos iguais três segmentos AB, BC e CD sobre uma dada reta a

  34. 13.4.14
    Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (18)
    Determinar os pontos para os quais as suas distâncias a duas retas dadas têm uma dada soma.

  35. 16.4.14
    Transformações geométricas: generalidades.

  36. 19.4.14
    Lista de transformações geométricas do plano para usar

  37. 23.4.14
    Lista de problemas… já resolvidos, usando transformações

  38. 23.4.14
    Resolver um problema de construção usando uma translação
    Determinar uma reta de direção dada que determina cordas iguais em duas circunferências dadas.

  39. 28.4.14
    Resolver um problema de construção usando uma meia volta
    Determinar a reta que passando por um dos pontos de interseção de duas circunferências dadas, nestas determina duas cordas iguais.

  40. 29.4.14
    Resolver problema de construção usando a translação
    Determinar um semento de reta igual e paralelo a um segmento de reta dado que cada um dos seus extremo esteja sobre cada uma de duas circunferências dadas

  41. 30.4.14
    Resolver problema de construção usando lugar geométrico e uma translação
    De uma dada posição P, observam-se dois pontos assinalados A,B segundo um dado ângulo BPA=α e, depois de percorrer uma dada distância numa dada direção UV, na posição Q observam-se os pontos assinalados A,B segundo outro dado ãngulo BQA=β. Determinar as posições P,Q em que foram feitas as observações.

  42. 1.5.14
    Resolver problema de construção usando transformação de meia volta
    Num dado quadrilátero de vértices A,B,C,D inscrever um paralelogramo de centro num ponto O dado.

  43. 2.5.14
    Resolver um problema de construção usando uma reflexão
    Desenhar a perpendicular a uma dada reta que corte duas curvas dadas em pontos equidistantes do pé da perpendicular na reta dada

  44. 3.5.14
    Resolver problema de construção usando a reflexão
    Determinar um quadrado tendo dois vértices opostos sobre uma reta dada e os outros dois em duas circunferências dadas

  45. 6.5.14
    Resolver um problema de construção usando homotetias
    Determinar (com régua e compasso) os pontos de interseção de uma reta dada com uma parábola de que se conhecem a diretriz e o foco

  46. 7.5.14
    Resolver problema de construção usando homotetias
    Determinar os vértices de um triângulo de que se conhecem as posições de três pontos que dividem os três lados em razões dadas.

  47. 10.5.14
    Resolver um problema de construção usando uma rotação e uma homotetia
    Inscrever um quadrilátero com determinada forma num semicírculo dado, em que um lado específico do quadrilátero inscrito esteja no diâmetro do semicírculo.

  48. 12.5.14
    Resolver problema de construção usando homotetia
    Desenhar uma circunferência que passa por um ponto dado, A, que seja tangente a duas retas dadas a,b.

  49. 13.5.14
    Resolver problema de construção usando uma homotetia
    Determinar os pontos D e E sobre os lados AB e AC de um triângulo ABC de tal modo que BD=DE=EC

  50. 14.5.14
    Resolver problema de construção de triângulo usando homotetia
    Desenhar um triângulo ABC de que é dada a posição de A e dois segmentos com comprimentos iguais a a+b=BC+AC e a+c=BC+AB

  51. 16.5.14
    Resolver problema de construção usando uma homotetia
    De uma dada circunferência são dados dois raios. Determinar a corda da circunferência dada que trisseta aqueles dois raios

  52. 20.5.14
    Resolver problemas de construção usando homotetia
    Para uma dada circunferência c e um ponto O do seu interior, determinar a corda que passa pelo ponto O e por ele fica dividida em dois segmentos cuja razão k é dada.

  53. 21.5.14
    Resolver um problema de construção, usando homotetia (entre curvas)
    Dadas duas curvas, um ponto e um número, determinar dois pontos cada um deles sobre uma das curvas dadas de tal modo que a razão das suas distâncias ao ponto dado seja o número dado.

  54. 22.5.14
    Resolver problema de construção usando homotetia:
    Determinar uma corda que, tirada por um ponto dado de uma circunferência dada, seja bissetada por uma outra corda dada.

  55. 26.5.14
    Resolver problemas de construção usando a inversão
    Determinar dois pontos cada um sobre uma de duas retas dadas de tal modo que o produto das suas distâncias a um ponto dado seja uma dada constante

  56. 29.5.14
    Resolver um problema de construção usando a meia volta
    Dadas duas circunferências e um ponto M determinar dois pontos, um em cada uma das circunferências dadas tais que M seja o ponto médio do segmento por eles determinado

  57. 1.6.14
    Resolver problema de construção, usando meias voltas e translações
    São dados cinco pontos A,B,C,D,E. Estes pontos são os pontos médios dos lados de um pentágono PQRST desconhecido. Reconstruir o pentágono.

  58. 4.6.14
    Resolver problema de construção, usando transformações geométricas (23)
    Em que pontos deve ser construída a ponte perpendicular ao rio de margens a,b paralelas que separa duas cidades A,B de tal modo que se possa construir uma estrada entre elas o mais curta possível?

  59. 6.6.14
    Resolver problemas de construção, usando composta de translações (24)
    Em que pontos devem ser construídas as duas pontes perpendiculares a cada um dos rios de margens paralelas a,b e c,d que separam duas cidades A,B de tal modo que se possa construir uma estrada entre elas o mais curta possível?

  60. 8.6.14
    Resolver problema de construção usando uma dilação rotativa
    Imagine dois mapas de Portugal continental m escalas diferentes mas de tal modo que um deles fique inteiramente contido no outro.Prove que existe um e um só ponto do território continental português que fica, na representação nos dois mapas, exactamente sobreposto. Para facilitar uma ilustração do problemas, pode supor que Portugal continental é exactamente um rectângulo. assim enunciado e proposto por Eduardo Veloso em "Simetria e Transformações Geométricas",GTG APM.Lisboa: 2012

  61. 12.6.14
    Resolver problema de construção, usando composta de rotações (e meia volta)
    Um velho pergaminho, que descrevia o local onde piratas enterraram um tesouro numa ilha deserta, dava as seguintes instruções: Na ilha só há duas árvores, A e B, e os restos de uma forca. Comece na forca e conte os passos necessários para ir, em linha recta, até à árvore A. Quando chegar à árvore, rode 90o para a esquerda e avance o mesmo número de passos. No ponto em que parou, coloque um marco no chão. Volte para a forca e vá em linha recta, contando os seus passos, até à árvore B. Quando chegar à árvore, rode 90o para a direita e avance o mesmo número de passos, colocando outro marco no chão, no ponto em que acabar. Cave no ponto que fica a meio caminho entre os dois marcos e encontrará o tesouro. Um jovem aventureiro que encontrou o pergaminho com estas instruções, fretou um navio e viajou para a ilha. Não teve dificuldade em encontrar as duas árvores mas, para seu grande desgosto, a forca tinha desaparecido e o tempo tinha apagado todos os vestígios que pudessem indicar o lugar onde ficava.
    Fractal music, hipercards and more, de Martin Gardner

  62. 19.6.14
    Resolver problemas de construção, usando análise e síntese (1)
    Num triângulo dado, traçar uma linha paralela à base de tal forma que os comprimentos dos segmentos dos lados intersetados entre esta e a base sejam, somados, iguais ao comprimento da base.in "Charles Lutwidge Dodgson, Um conto enredado e outros problemas de almofada. RBA: 2008"

  63. 22.6.14
    Resolver problema de construção, usando análise e síntese (2)
    Traçar num dado triângulo um segmento paralelo à base de tal forma que, se a partir dos seus extremos se tirarem segmentos paralelos aos lados até à base, a sua soma seja igual ao primeiro segmento. in "Charles Lutwidge Dodgson, Um conto enredado e outros problemas de almofada. RBA: 2008"

  64. 26.6.14
    Resolver problema de construção, usando análise e síntese (3)
    Num dado triângulo, traçar uma linha paralela à base de tal forma que se se traçarem a partir dos seus extremos linhas paralelas aos lados até cortarem a base, somadas meçam o dobro que a linha inscrita. (31/12/1881)

  65. 28.6.14
    Resolver problema de construção, usando análise e síntese (4)
    Construir um triângulo isósceles de que se conhecem o circulo circunscrito e a soma da base com a altura correspondente.

  66. 2.7.14
    Resolver um problema de construção usando análise e síntese (5)
    Construir um trapézio de que se conhecem os quatro lados

  67. 3.7.14
    Resolver um problema de construção, usando análise e síntese (6)
    Construir um quadrilátero convexo de que conhecem os comprimentos dos quatro lados e a amplitude do ângulo formado por dois lados não consecutivos.

  68. 5.7.14
    Resolver um problema de construção usando análise e síntese (7)
    Determinar um ponto P sobre uma reta que contém um diâmetro AB de uma dada circunferência (O) tal que, sendo T o ponto de tangência da tangente à circunferência tirada por P, PT=2PA.

  69. 8.7.14
    Resolver problema de construção usando análise e síntese (8)
    Construir um paralelogramo sendo dados os comprimentos de um lado e das duas diagonais.

  70. 13.7.14
    Resolver problemas de construção usando o método do problema contrário
    Inscrever numa semicircunferência dada um losango semelhante a um losango dado e de modo que dois dos seus vértices consecutivos estejam sobre o diâmetro da circunferência.

  71. 16.7.14
    Resolver problema de construção usando o problema contrário (2)
    Inscrever, numa circunferência de raio dado, um triângulo isósceles cuja base seja igual à altura

  72. 21.7.14
    Resolver problema de construção usando análise e síntese
    Por um dos pontos de intersecção de duas circunferências secantes, conduzir uma reta que determine nas duas circunferências um segmento de comprimento dado

  73. 22.7.14
    Resolver problema de construção usando o método do problema contrário (3)
    Num quadrado de lado L, inscrever um quadrado de lado l.

  74. 28.7.14
    Resolver problema de construção usando os métodos do problema contrário e transformação (4)
    Inscrever num retângulo [ABCD], um paralelogramo semelhante a outro [EFGH] dado

  75. 3.8.14
    Resolver problema de construção usando o método do problema contrário (5)
    Dado um ponto P e duas retas paralelas a,b (margens de um rio?), determinar a posição de uma (ponte?) perpendicular para a qual o segmento da perpendicular entre as paralelas seja visto de P segundo um ângulo α dado

  76. 10.8.14
    Resolver problema de construção usando rotações (análise e síntese)
    Inscrever num paralelogramo dado [ABCD], um retângulo [EFGH] cujas diagonais EG,FH formam um ângulo EÔF=α dado.

  77. 17.2.15
    Igualdade n'Os Elementos de Euclides - contexto e não definido
    PrOP. XXXV. PROB. LIVRO I.
    Os paralelogramos que estão sobre a mesma base, e entre as mesmas paralelas, são iguais

  78. 22.2.15
    Elementos: igualdade de "conteúdos" de triângulos.
    PROP. XXXVII. TEOR. LIVRO I.
    Os triângulos, que estão postos sobre a mesma base, e entre as mesmas paralelas, são iguais.

  79. 27.2.15
    Elementos: Teorema de Pitágoras.
    PROP. XLVII. TEOR. LIVRO I. TEOREMA DE PITÁGORAS
    Em todo o triângulo retângulo o quadrado feito sobre o lado oposto ao ângulo reto, é igual aos quadrados formados sobre os outros lados, que fazem o mesmo ângulo reto .

  80. 5.3.15
    Elementos: O recíproco do Teorema de Pitágoras (por Euclides)
    PROP. XLVIII. TEOR. LIVRO I. RECÍPROCO DO TEOREMA DE PITÁGORAS
    Se o quadrado feito sobre um lado de um triângulo foor igual aos quadrados dos outros dois lados, o ângulo compreendido por eestes dois lados seraá reto .

  81. 18.3.15
    Um primeiro exemplo de proposição de álgebra geométrica, usando áreas (o corta e cola)
    PROP. V. TEOR. Livro II
    Se AB for dividido em duas partes iguais por C e em duas partes desiguais por D, o retângulo de lados AD,BD acrescentado ao quadrado de lado CD e igual ao quadrado de lado BC - metade de AB

  82. 21.3.15
    elementos: segundo exemplo de álgebra geométrica (Livro II, Prop. VI)
    Livro II - PROP. VI. TEOR.
    Sendo uma reta AB, e nela o ponto C que divide o segmento AB em duas partes iguais e um ponto D tal que AD=AB+BD, então o retângulo de lados iguais a AB e BD acrescentado do quadrado de lado igual a CB é igual ao quadrado de lado igual a CD.

  83. 26.3.15
    Elementos: média e extrema razão; álgebra geométrica (Prop. XI do Livro II)
    Livro II - PROP. XI. PROB.
    Dividir uma linha reta de sorte que o retângulo de tôda e de uma parte seja igual ao quadrado da outra parte

  84. 4.4.15
    Elementos: potência de um ponto (Livro III, PROP. XXXVI. TEOR.)
    Livro III, PROP. XXXVI. TEOR.
    Se de um ponto qualquer fora de um círculo se tirarem duas linhas retas, das quais uma corte o círculo, e a outra o toque; será o retângulo compreendido por toda a reta que corta o círculo e pela parte dela que fica entre o dito ponto e a circunferência convexa do círculo, igual ao quadrado da tangente.

  85. 11.4.15
    Retas tiradas de um ponto para um círculo: igualdade de áreas de retângulos (secantes) e quadrados (tangentes)
    Livro III - PROP. XXXVII. TEOR.
    Se de um ponto qualquer fora de um círculo se tirarem duas retas, das quais uma corte o círculo, e a outra chegue somente até a circunferência; e se o retângulo compreendido pela reta inteira que corta o círculo e pela parte dela que fica entre o dito ponto e a parte convexa da circunferência, fôr igual ao quadrado da reta incidente sôbre a circunferência, será a reta incidente tangente do círculo

  86. 24.4.15
    elementos: triângulo isósceles com ângulos da base duplos do terceiro.
    Livro IV - PROP.X. PROB.
    Construir um triângulo isósceles de maneira que cada um dos ângulos, que estão sobre a base, seja o dobro do ângulo do vértice.

  87. 2.5.15
    Elementos: Inscrever um pentágono regular numa dada circunferência
    Livro IV - PROP.XI. PROB.
    Em um círculo dado inscrever um pentágono equilátero e equiângulo.

  88. 16.5.15
    Método comum para inscrever um pentágono regular numa circunferência
    PROVA EM SUPORTE DA CONSTRUÇÃO COMUM
    Em um círculo dado inscrever um pentágono equilátero e equiângulo.

  89. 29.5.15
    Elementos: Circunscrever um pentágono regular a um círculo dado LIVRO IV: PROP. XII. PROB.
    Circunscrever a um círculo dado um pentágono equilátero e equiângulo.

  90. 6.6.15
    Elementos: Determinar o centro de uma circunferência (demonstração) LIVRO III: PROP. I. PROB.
    Achar o centro em um círculo c dado.

  91. 22.6.15
    Elementos: Livro XIII, Proposição 12
    Se um triângulo equilátero está inscrito num círculo, então o quadrado de lado igual ao lado do triângulo é triplo do quadrado de lado igual ao raio do círculo.

  92. 26.6.15
    Livro XIII: Construção de um tetraedro inscrito numa esfera.
    Proposição 13:
    Construir uma pirâmide regular (ou tetraedro), inscrevê-la numa dada esfera e mostrar que o quadrado do diâmetro da esfera é uma vez e meia o quadrado do lado (aresta) da pirâmide.

  93. 1.7.15
    Livro XIII: Construção de um octaedro inscrito numa esfera dada
    Proposição 14:
    Construir um octaedro inscrito numa esfera dada e mostrar que o quadrado do diâmetro da esfera é o dobro do quadrado da aresta do octadedro nela inscrito.

  94. 7.7.15
    Elementos: Construção de um cubo inscritível numa dada esfera
    Proposição 15:
    Construir um cubo que se possa inscrever-se numa esfera dada e mostrar que o quadrado do diâmetro da esfera é triplo do quadrado da aresta do cubo nela inscrito.

  95. 23.7.15
    Relações entre tetraedro e cubo inscritos numa mesma esfera.

  96. 15.8.15
    Relações entre os lados dos pentágono, decágono e hexágono inscritos numa mesma circunferência

  97. 23.8.15
    Elementos: Construir um icosaedro (Proposição 16 do Livro XIII)

  98. 22.9.15
    Elementos: Construção de dodecaedro inscritível numa dada esfera.

  99. 16.10.15
    Elementos: Comparações das arestas dos sólidos platónicos inscritos numa mesma esfera

  100. 5.11.15
    Não há mais que cinco poliedros regulares

  101. 7.4.16
    Transporte de um ângulo: passos da construção: economia, método e razão. Existência.

  102. 12.4.16
    Construir um paralelogramo equivalente a um triângulo dado e com um certo ângulo

  103. 15.4.16
    Trabalhar com áreas (usar noções comuns numa demonstração)

  104. 17.4.16
    Novo problema de construção de paralelogramo de área igual à de um triângulo.

  105. 29.4.16
    Construir um triângulo equivalente a um polígono

    3/5/2016
    um dos botões serve para reiniciar o 3 de Maio, sempre

  106. 5.5.16
    Quadratura de um pentágono dado

  107. 13.5.16
    Quadratura de um "crescente" (lúnula , Hipocrates)