Triângulo equilátero preso pelos vértices a três circunferências concêntricas dadas.


Usando transformações geométricas, resolvemos o problema de encontrar em 3 retas paralelas três pontos equidistantes ou de construir um triângulo equilátero com cada um dos três vértices a incidir numa de três dadas circunferências concêntricas.
Claro que para cada ponto genérico de uma das circunferências pode haver uma solução (ou duas ou nenhuma) para o problema. A nossa construção só é feita como tentativa de apresentação de um problema interativo usando Cinderella e CindyScript. Já antes, há vários anos tínhamos apresentado problemas interativos usando ZuL (Compasso e Régua) e Cinderella.
Achamos fundamental que os alunos construam soluções com régua e compasso - passo a passo - que, no ensino básico e secundário, são muito mais formativas (e apoios seguros para raciocínios demonstrativos) que a simples observação e constatação providenciada por professores (por muito bem feitas e animadas que elas sejam).
Espantosamente, esses processos foram sendo abandonados e, em parte, substituídos por aulas (lições, livros, exposições) que, se não inibem as aprendizagens básicas e autónomas dos raciocínios construtivos/demonstrativos, acabam por iludir a sua importância com apresentações magistrais para aprendizagens nulas ou quase.
As aprendizagens básicas que os exercícios interativos com raciocínios demonstrativos típicos que desde os “Elementos de Euclides” são apresentados como proposições e problemas de construção, ou seja, teoremas de existência.
De certo modo, os autores de Cinderella não desistiram do módulo de exercícios interativos (bem amigos dos professores que o escolhiam para propor exercícios) mas deixam para os professores utilizadores de software (como nós) a aprendizagem de “JavaScript” ou, do mais adequado ao uso do Cinderella, “CindyScript”. Pode não ser nada ajustado ao fim e ao cabo.
Perdemos a vergonha e apresentamos, como exemplo ainda meio falhado como verão, de exercício exportado para “CindyJS” e não como “applet - deprecated”(?), o problemas e construção referido inicialmente. O resultado não foi animador. Aqui fica a experiência com a aplicação “CaR de R. Grothmann” e o antigo applet que exige um html que o não considere “deprecated” e uma versão antiga do “Java”. Veremos.


Criado com R&C

  1. Este problema é em tudo análogo ao problema da construção de um triângulo equilátero com os vértices sobre retas paralelas dadas. O método usado recorre a transformações geométricas - a rotação.
    Resumimos o método para 3 retas paralelas - $\;a, \;b, \;c\;$ - dadas. Começamos por tomar um ponto $\;A\;$ de $\;a\;$ e procuramos os pontos $\;B\;$ de $\;b\;$ e $\;C\;$ de $\;c\;$ tais que $\;AB=AC\;$ e $\;(\dot{A}B,\dot{A}C) = \angle B\hat{A}C = 60°. \;$ O ponto $\;C\;$ de $\;c\;$ que procuramos é a imagem de um ponto de $\;b\;$ por uma rotação de $\;60°\;$ em torno de $\;A.\;$ Chamamos $\;b’ \;$ à reta imagem da reta $\;b\;$ pela rotação referida. A intersecção $\;b’.c\;$ é o ponto $\;C, \;$ que procuramos para o caso de cada $\;A\;$ tomado sobre $\;a.\;$ Obviamente o ponto $\;B\;$ é a imagem de $\;C\;$ na rotação de $-60°$ em torno de $\;A\;$.
  2. No caso de nos serem dadas três circunferências concêntricas $\;(O,a), \;(O,\;b), \;(O, \;c)\;$ centradas em $\;O\;$ de raios $\;a, \;b, \;c,\;$ e, para o caso consideramos $\;a > b >c.\; $ Alertamos que, a partir daqui quando escrevermos circunferência $\;a\;$ estamos a falar da circunferência $\;(O, a\;$
  3. Começamos por tomar um ponto $\;A\;$ a incidir na circunferência $\;a\;$ e, de modo análogo ao processo resumido acima, sabemos que o ponto $\,C\;$ de $\;c\;$ que procuramos é imagem de um ponto $\;B\;$ de $\;b\;$ por uma rotação de $\;60°\;$ em torno de $\;A.\;$ Ou seja, a existir $\;C\;$, ele é uma intersecção de $\;(O,\;c)\;$ com $\;(O’,b)\;$ em que $\;O’\;$ é a a imagem de $\;O\;$ pela rotação de $\;60°\;$ em torno de $\;A\;$ ou seja na intersecção de$\;(A,\;a).(O,\;a).\;$
    Para que haja $\;C\;$ (solução do problema) é pois preciso que a intersecção $\;(O’,\;b).(O,\;c)\;$ não seja vazia e, no caso, isso significa que não chega ser $\;a>b>c,\;$ mas também é preciso que seja $\;b\geq a-c\;$. Para que haja solução, em resumo, é preciso que os raios das concêntricas sejam tais que $\;a>b>c\geq a-b.\;$
  4. $\;B\;$ é a imagem de $\;C\;$ por uma rotação de $\;-60°\;$ em torno de $\;A\;$, ou seja, $\;(A, \;AC) . (C,\;AC)\;$ que é o mesmo que $\;(A,\;AC).(O,\;b).\;$