Na entrada de de 9/9/2008, Mais propriedades do ponto isodinâmico de um triângulo, ponto que pode ser obtido como interseção das circunferências de Apolónio, ilustra-se que:

1. o quadrilátero formado pelos três vértices e um ponto isodinâmico é tal que o produto dos seus lados é constante: Seja $N$ o ponto de interseção de duas circunferências de Apolónio do triângulo $[ABC]$, então $NA\times BC=NB \times AC$ (proporcionalidade inversa entre as distância de $N$ aos vértices $A, B, C$ e os respetivos lados opostos $BC, AC, AB$ )
2. a projeção dos vértices de [ABC] a partir de um ponto isodinâmico $N$ sobre a circunferência circunscrita a $[ABC]$, formam um triângulo equilátero $[A'B'C']$
3. uma inversão de centro num ponto isodinâmico de $[ABC]$ transforma-o num triângulo equilátero $[A'B'C']$

É deste último resultado que trata esta entrada.
Seja dado um triângulo $[ABC]$. Como definir uma inversão que transforma este triângulo $[ABC]$ num triângulo equilátero $[A'B'C']$?
Precisamos de arranjar um ponto $O$ para pólo ou centro de uma circunferência em relação à qual uma inversão que transforme $$A \hookrightarrow A',\;\; \mbox{i.e.} \;\; OA'\times OA=r^2 \;\; \mbox{ou} \;\;\;\; OA'=\frac{r^2}{OA}\; ; \; \; \; B \hookrightarrow B',\;\; \mbox{i.e.} \;\; OB'\times OB=r^2 \; ; \;\; \; \; \; C \hookrightarrow C',\;\; \mbox{i.e.} \;\; OAC\times OC=r^2 \;\;$$ $$\; \; \; \mbox {e de tal modo que}\;\; \; \; \; A'B'=B'C'=C'A'$$ Ora, já vimos em entrada anterior que, a titulo de exemplo, por ser $[OAB] \sim[OA'B'] \;\;\; (\hat{O}\;\;\; \mbox{comum} \;\;\;\hat{A}=\hat{B'}, \;\;\;\hat{B}=\hat{A'})$ $$\frac{OA}{OB'}=\frac{OB}{OA'} =\frac{AB}{A'B'}$$ que é o mesmo que dizer que $$OA \times OA'= OB\times OB' \wedge A'B'\times OA = AB \times OB' \wedge A'B'\times OB = AB \times OA'$$ $$ OA' =\frac{OB \times OB' }{OA} \wedge A'B'=\frac{AB\times OA'}{OB}$$ $$ A'B'=\frac{AB \times r^2}{OA\times OB}$$ De modo análogo, como $[OBC]\sim [OB'C']$ e $[OAC] \sim[OA'C']$, $$ B'C'=\frac{BC \times r^2}{OB\times OC} \;\;\;\; \mbox{e} \;\;\;\; A'C'=\frac{AC \times r^2}{OA\times OC}$$ $O$ e $r$ terão de ser tais que $A'B'=A'C'=B'C'$, isto é, $$\frac{AB \times r^2}{OA\times OB} = \frac{AC \times r^2}{OA\times OC}=\frac{BC \times r^2}{OB\times OC}$$ que é equivalente a $$\frac{AB}{OA\times OB} = \frac{AC}{OA\times OC}=\frac{BC}{OB\times OC}$$ (para qualquer $r >0$) ou $$\frac{OB}{OC}= \frac{AB}{AC} \;\;\;\; \mbox{e}\;\;\;\; \frac{OC}{OA}=\frac{BC}{AB}$$ Assim, para que, a partir de $[ABC]$ se obtenha, por inversão, $[A'B'C']$ equilátero é preciso e basta que $$OB \times AC= OC \times AB = OA\times BC \; ,$$ isto é, que o centro $O$ seja um dos pontos isodinâmicos (interseção das circunferências de Apolónio) do triângulo $[ABC]$. $\square$

A figura dinâmica seguinte ilustra bem este trabalho. Há muitas outras soluções — de centro $\;O,\;$ uma para cada $r>o$ — e de centro da inversão $\;N\;$,uma para cada $\;r>0$.

A circunferência de inversão é a violeta de centro $O$, claro.