triângulos retângulos: inraios e altura

Problema: Um triângulo $\;[ABC]\;$ retângulo em $\;C\;$ está dividido em dois triângulos $\;[CAH]\;$ e $\;[BCH]\;$ pela sua altura $\;CH\;$ relativamente à hispotenusa $\;AB.\;$
Provar que a altura $\;h=CH\;$ é igual à soma dos raios$\;i,\;j,\;k\;$ dos incírculos $\;(I, i), \;(J, j), \; (K, k)\;$ de $\;[ABC],\; [CAH], \; [BCKH]\;$ respetivamente.




© geometrias, 29 de Outubro de 2014, Criado com GeoGebra



Na entrada de 13.9.14 Círculo "misto" de um triângulo retãngulo mostrámos que o raio $\;i\;$ do incírculo de um triângulo $\;[ABC]\;$ retângulo em $\;C\;$, é dado por $\;i= \displaystyle \frac{a+b-c}{2}.\;$
Como $\;[CAH]\;$ e $\;[BCH]\;$ são retângulos em $\;H\;$ $\;j =\displaystyle \frac{AH+HC-CA}{2}=\frac{AH+h-b}{2}\;$ e $\;k =\displaystyle \frac{CH+HB-BC}{2} =\frac{h+HB-a}{2}\;$
Somando os raios das três circunferências inscritas da figura, temos $\;i+j+k = \displaystyle \frac{a+b-c}{2} + \frac{AH+h-b}{2} + \frac{h+HB-a}{2}= \frac{a+b-c +AH+h-b+h+HB-a}{2} $
Como $\;AH+HB= c,\;$ conclui-se que
$\;i+j+k = h \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; $ □

J. Marshall Unger, A collection of 30 Sangaku Problems, Ohhio State University.
(sugestões de António Aurélio Fernandes)