Nesta entrada estamos a propor como aplicação da inversão uma demonstração do Teorema de Ptolomeu que já foi objeto de uma entrada que o ilustrava:
Dado um quadrilátero $[ABCD]$ convexo inscrito numa circunferência, prova-se que o produto das diagonais — $\overline{AC}\times \overline{BD}$ — é igual à soma dos produtos dos pares de lados opostos, $\overline{AB}\times \overline{CD} + \overline{AD} \times \overline{BC}$. Considere a figura que se segue, em que se determinam as imagens de $A, B, C, D$ por uma inversão de centro num dos vértices. Tomamos $D$ para centro de uma circunferência de inversão de raio $r$.
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Os pontos $A, B, C, D$ são pontos de uma circunferência. Relativamente à circunferência azul de inversão centrada em $D$ e raio $r$,
$$A \hookrightarrow A' : A, A', D\;\;\; \mbox{ são colineares e} \;\;\; \overline{AD} \times \overline{A'D} = r^2$$ $$B \hookrightarrow B' : B, B', D \;\;\; \mbox{são colineares e }\;\;\;\overline{BD} \times \overline{B'D} = r^2$$ $$C \hookrightarrow C' : C, C', D\;\;\; \mbox{são colineares e} \;\;\; \overline{CD} \times \overline{C'D} = r^2$$ O ponto do infinito da reta que passa por $A', B' C'$ tem como correspondente o centro da inversão, $D$, sobre a circunferência em que se inscreve o quadrilátero que se transforma, por isso, na reta, em que $$A', B' C' \;\;\;\mbox{ são colineares, sendo}\;\;\; \overline{A'C'}=\overline{A'B'} + \overline{B'C'}$$.
Das três primeiras igualdades anteriores, retira-se
$$\overline{DA} \times \overline{DA'} = \overline{DB} \times \overline{DB'} = \overline{DC} \times \overline{DC'}$$ e $$\frac{\overline{DA'}}{\overline{DB}}=\frac{\overline{DB'}}{\overline{DA}}, \;\;\;\;\;\;\frac{\overline{DA'}}{\overline{DC}}=\frac{\overline{DC'}}{\overline{DA}}, \;\;\; \;\;\;\frac{\overline{DB'}}{\overline{DC}}=\frac{\overline{DC'}}{\overline{DB}}$$ Assim,
$$[DAB] \sim [DA'B'] \;\;\; \;\;\;\mbox{ por terem um ângulo comum} \;\;\; \hat{D} \;\;\; \mbox{e ser } \;\;\; \frac{\overline{DA'}}{\overline{DB}}=\frac{\overline{DB'}}{\overline{DA}}$$ Em consequência, os lados opostos ao ângulo comum $\hat{D}$ verificam $$\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DA'}}{\overline{DB}}=\frac{\overline{DB'}}{\overline{DA}}.$$ Do mesmo modo se pode proceder para os triângulos $[DAC]\sim [DA'C'], [DBC] \sim [DB'C']$.
Podem tirar-se assim os seguintes resultados: $$\overline{A'B'}=\frac{\overline{AB}\times \overline{DA'}}{\overline{DB}}=\frac{r^2 \times \overline{AB}}{ \overline{DA} \times \overline{DB}}$$ E, de igual modo, $$\overline{A'C'}=\frac{r^2 \times \overline{AC}}{ \overline{DA}\times \overline{DC}} \;\;\; \mbox{e} \;\;\; \overline{B'C'}=\frac{r^2 \times \overline{BC}}{ \overline{DB}\times \overline{DC}}$$
Finalmente, usando estas últimas igualdades, como $$\overline{A'C'}=\overline{A'B'} + \overline{B'C'}$$ tem-se $$\frac{r^2 \times \overline{AC}}{ \overline{DA}\times \overline{DC}}= \frac{r^2 \times \overline{AB}}{ \overline{DA} \times \overline{DB}} +\frac{r^2 \times \overline{BC}}{ \overline{DB}\times \overline{DC}}$$ que, multiplicando ambos os membros por $\overline{DA}\times \overline{DB}\times \overline{DC}$, nos dá $$\overline{AC}\times \overline{DB} = \overline{AB}\times \overline{DC} + \overline{BC} \times \overline{DA} \;\; , $$ como pretendíamos. $\square $