A construção e a demonstração da última entrada deram-nos um método simples e seguro para determinar uma cónica inscrita num pentágono qualquer. Pode ser descrito como segue:
Seja um pentágono ABCDE. Tome-se um ponto variável sobre uma das diagonais, por exemplo, Z em CE.
Para cada Z de CE tomem-se os pontos X=DE.ZB e Y=CD.AZ e a reta XY por eles definida.
O conjunto das retas assim definidas (quando Z percorre CE) são tangentes à cónica inscrita no pentágono ABCDE.


Na altura, chamámos a atenção para o hexágno da figura ABCYXE, com os seis lados tangentes à cónica. Cada par de vértices opostos define o que chamamos uma diagonal do hexágono, a saber AY, BX e CE e a construção associada mostrava-nos que quaisquer que fossem as pontuais X (sobre DE) e Y (sobre CD) projetivas, i.e. tais que AY e BX se intersetassem sobre CE. Via-se também que os lados desse pentágono eram posições particulares de XY e, por isso, a cónica definida é tangente a todos os lados do pentágono ABCDE.
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.

Se os seis lados de um hexágono qualquer são tangentes a uma cónica, cinco deles, como tomámos por exemplo, DE, EA, AB, BC e CD, também são tangentes. Como é única a cónica tangente a estas 5 retas fixas, o sexto lado tem de coincidir com uma posição particular de XY para a qual BX.AY é um ponto de CE
Fica assim demonstrado o
Teorema de Brianchon:
Se os lados de um hexágno são tangentes a uma cónica, as suas três diagonais inicidem num só ponto.