Na anterior entrada, vimos que
Se p, q, d são 3 retas que não incidem num mesmo ponto e XYZ for um triângulo variável
- com X a mover-se sobre p, Y a mover-se sobre q e Z a mover-se sobre d, e
- o lado XZ a passar por um ponto fixo B de q e o lado YZ a passar por um ponto fixo A de p
então o terceiro lado do triângulo envolve uma e uma só cónica tangente a p e q nos pontos P=p.d e Q=q.d.
A construção, que se segue, ilustra um resultado mais geral:
Se p, q, r são três retas não concorrentes e XYZ é um triângulo variável em que X toma posições sobre p, Y sobre q e Z sobre r enquanto XZ e YZ passam respetivamente por pontos B e A fixos (não necessariamente incidentes em p ou q) não colineares com p.q
então
o lado XY envolve uma cónica.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.

Nas condições da figura, a perspetividade centrada em B seguida da perspetividade centrada em A
X→BZ→AY
é uma projetividade relacionando X com Y, que não é uma perspetividade, já que nem r nem AB passam por D=p.q.
Assim as retas XY são tangentes uma cónica que também admite como tangentes p e q.
Podemos verificar o que acontece para algumas posições dos vértices e correspondentes posições de XY:
  1. quando Z=E=p.r, X=E, AY=AE e também XY=AE, que significa que AE é tangente à cónica
  2. quando Z=C, Y=C, BX=BC e também XY=BC tangente à cónica
  3. quando Z=G, X=I, Y=J e também XY=AB tangente à cónica

Podemos assim olhar para o essencial da nossa construção de uma cónica tangente aos lados de um pentágono ABCDE.
Na nossa construção, partimos de p=DE, q=CD, r=CE, AB, em que r=CE é a diagonal do pentágono ABCDE. Para a determinação do triângulo variável XYZ, partimos de Z livre sobre a diagonal r, X=p.BZ, Y=q.AZ, para uma projetividade que não é perpsetividade entre as pontuais X (sobre p) e Y (sobre q).
E, conforme a definição de Steiner, as retas XY (passando por correspondentes projetivos) geram a cónica inscrita no pentágono.
Também podemos olhar para a nossa construção para ver um hexágono ABCYXE de diagonais AY, BX e CE (a passar por Z) cujos lados são tangentes à cónica.