Dualizando a definição de Steiner, obtivemos: Sejam dois pontos X e Y pontos variáveis sobre as retas p e q tais que X e Y são projetivos mas não perspetivos. A envolvente das retas XY é uma cónica tangente a p e q.
Qualquer projetividade que relacione X (pontual de base p) com Y (pontual de base q) tem um eixo. Se tomarmos dois pontos fixos - A sobre p como posição particular de X e B sobre q como a posição particular correspondente de Y - XB.YA=Z é um ponto do eixo (da projetividade que relaciona X com Y) que se mantém independente das variações de X.
Na nossa construção, pode ver que quando X=A, Y=B. O lugar geométrico dos pontos Z quando X varia sobre p é a reta d. Se tomarmos d como eixo dessa projetividade, e designarmos d.p=P e d.q=Q, quando X=P, Y=D=p.q, Z=P; quando X=D=p.q, Y=Q=d.q, Z=Q. O que significa que os pontos P=d.p e Q=d.q são os pontos de tangência da cónica envolvente das retas XY com as p e q.
A projetividade em causa pode ser sempre descrita como um produto de duas perspetividades. Atendendo à construção em que G=d.AB, vimos que a perspetividade de centro em B transforma a pontual APDX sobre p na pontual GPQZ sobre d e a perpspetividade de centro em A transforma esta pontual GPQZ sobre d em BDQY sobre q.
Na polaridade associada à cónica envolvente das retas XY, P é polo de p, Q é polo de q, D=p.q é polo de d=PQ.
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.

Podemos olhar para a figura da construção de outro modo,
como se tivessemos um triângulo variável XYZ
com X a mover-se sobre uma reta p, Y a mover-se sobre uma reta q e Z a mover-se sobre uma reta d,
o lado XZ a passar por um ponto fixo B de q e o lado YZ a passar por um ponto fixo A de p.
E, nestas condições, o terceiro lado do triângulo envolve uma e uma só cónica.