Na entrada Uma polaridade, uma cónica fixámos o seguinte: Ao lugar geométrico dos pontos auto-conjugados numa dada polaridade chamamos cónica. E às polares dos pontos auto-conjugados chamaremos tangentes à cónica. Fica assim estabelecida uma definição de cónica como figura auto-dual: lugar geométrico dos pontos auto-conjugados de uma polaridade e envolvente das retas auto-conjugadas.
Na entrada Construção de uma polaridade (cónica) com um triângulo auto-polar e um ponto auto-conjugado construímos uma polaridade (ABC)(Pp) em que ABC é um triângulo autopolar e P é um ponto autoconjugado (P inicide na sua polar p; p inicide no seu polo P)
Na entrada Da cónica para a polaridade associada retomámos o resultado já antecipado se os vértices de um quadrângulo PQRS completo forem pontos auto-conjugados para uma dada polaridade, então o triãngulo diagonal ABC do quadrângulo é um triângulo auto-polar para concluirmos que é auto-polar o triângulo diagonal ABC de um quadrângulo qualquer PQRS de vértices incidentes numa cónica .
Embora tenhamos tido sempre presente que uma cónica é a envolvente da retas autoconjugadas para uma dada polaridade, nunca nos preocupámos em definir o triângulo auto-polar para o quadrângulo circunscrito. Bastou-nos mostrar que é auto-polar o triângulo diagonal de um qualquer quadrângulo completo de vértices autoconjugados (pontos da cónica) (quadrivértice inscrito na cónica) para continuar o estudo.
No seu livro "Geometria Descriptiva Superior y Aplicada", sob o título Cuadrivértice y cuadrlátero inscrito y circunscrito a una cónica Fernando Izquierdo Asensi trata de dois enunciados:
  1. En todo cuadrivértice inscrito a una cónica, su triángulo diagonal es autopolar respecto a la cónica
  2. En todo cuadrilátero circunscrito a una cónica, los puntos de intersección de sus diagonales y de los pares de lados opuestos son vértices de un triángulo autopolar respecto a la cónica.
E é por isso que decidimos voltar a abordar a polaridade induzida por cada cónica.
A respeito de quadrângulos, lembramos a entrada Para escrever sobre quadriláteros (completos) em que esclarecíamos as noções de quandrângulos completos onde se pode ler:
  1. o conjunto formado por quatro pontos {A,B,C,D}, dos quais não há 3 colineares, (vértices) e pelas 6 retas {AB,AC,AD,BC,BD,CD} definidas pelos pares de pontos existentes, a que chamamos lados. Dois lados consideram-se opostos quando se intersetam em pontos que não A, B, C, D, ou seja, em pontos que não são vértices, no caso, E,F,G. Esses 3 pontos tomam o nome de pontos diagonais
  2. o conjunto formado pelas quatro retas {a,b,c,d}, das quais não há 3 incidentes num ponto,(lados) e pelos 6 pontos {a.b,a.c,a.d,b.c,b.d,c.d} definidos pelos 6 pares de retas existentes a que chamamos vértices. Dois vértices consideram-se opostos quando definem uma reta que não é qualquer dos 4 lados a,b,c ou d, a saber, a.d e b.c, a.c e b.d, a.b e c.d. As retas definidas por vértices opostos chamam-se retas diagonais, no caso, e,f,g.
A construção do quadrângulo completo inscrito na cónica para definir a polaridade associada já foi abordada repetidas vezes.
Vamos apresentar a construção do quadrângulo completo circunscrito à cónica e respetivo triângulo auto-polar.
Na construção que se segue, temos quatro retas t, u, v, w tangentes à cónica respetivamente em T, U, V, W (que é o mesmo que dizer que T é o polo de t ou que t é a polar de T, etc ). Essas quatro retas autoconjugadas intersetam-se duas a duas em P=u.v, Q=t.w, R=v.w e S=t.u; A=u.w, B=t.v e C=PQ.RS (vértices). O quadrilátero completo considera ainda as retas definidas pelas interseções pelos pares de pontos de intersecção de lados opostos, a saber a=BC, b=AC e c=AB que se chamam retas diagonais e formam o triângulo diagonal.
Para este triângulo ABC ser auto-polar foi preciso garantir que TV.UW=PQ.RS=C, já que B está sobre a polar de V também b (polar de B) tem de passar por V, etc Na figura, ainda indicamos a polar de P=u.v que é p=UV, Q=t.w que é q=TW, de S=t.u que é s=TU, de R=v.w que é r=VW.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Poderá deslocar os pontos T e U sobre a cónica e B so.bre t

Para esta construção do triângulo autopolar de um quadrilátero em que os 4 lados são tangentes de uma cónica, começamos por tomar as tangentes t, u nos pontos T e U. Por um ponto B de t tirámos a tangente v à cónica. E a tangente w no segundo ponto de intersecção da reta BU com a cónica. Marcámos A=u.w, P=u.v, Q=t.w, R=v.w e S=t.u
Do feixe centrado em B, a e c são conjugadas harmónicas de t e v e como estas últimas são retas duplas (tangentes) a e c são conjugadas para a polaridade. O mesmo acontece com o feixe centrado em A, b e c são conjugadas harmónicas com u e w que são retas duplas (tangentes). São conjugadas as retas a com c e b com c. Os lados do triângulo abc são conjugados dois a dois, o que é o mesmo que dizer que cada vértice é polo do lado oposto: A=b.c é polo de a=BC, B=a.c é polo de b=BC e C=a.b é polo de c=AB. Das quatro retas a, c, v, t do feixe centrado em B, os seus polos A, C, V e T terão de pertencer à polar de B, b, isto é, AC=TV. De modo análogo, se verifica que BW=UW.
F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994