Em termos de geometria projetiva, definimos cónica como lugar geométrico dos pontos auto-conjugados para uma dada polaridade ou como o lugar geométrico dos pontos de intersecção de retas correspondentes de dois feixes projetivos não perspetivos.
Interessante é responder à pergunta: Uma qualquer das cónicas que definimos euclideanamente, com recurso a distâncias, será uma cónica projetivamente falando? Será uma circunferência euclideana uma cónica projetivamente falando?
N construção que se segue, está desenhada uma circunferência em que APBQC são vértices consecutivos de um hexágono regular nela inscrito.
É claro que AQ.PC=R (centro da circunferência considerada), AB é mediana do triângulo equilátero APR e BC é mediana de CQR. Tomamos também um diâmtero variável (a verde) que interseta AB em M e BC em N. E tomamos PM.QN=X (variável com o diâmetro MN)

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
  1. Euclideanamente falando:
    Por PQR ser um triângulo equilátero; AB é mediatriz de PR (PM=MR) e também é bissetriz de PAR (BAP=BAR). Daí, podermos concluir para ângulos que XPA=MPA=ARM. Ora ARM=QRN e, por razões análogas às consideradas para o triângulo APR, NQR=NRQ. Podemos, assim, concluir que XPA=XQA.
  2. Com o diâmetro variável, o conjunto das retas PM constituem um feixe centrado em P e, do mesmo modo, as retas QN constituem um feixe de retas centrado em Q. Estes dois feixes são projetivos não perspetivos: verifique que quando PM=PA, QN=QA e X=A; quando PM=PC, QN=CQ, X=B=N; etc (construção de Braikenbridge-Mclaurin), isto é, os pontos de intersecção das retas correspondentes pela projetividade que os associa determina uma cónica única que passa pelos pontos A, B, C, P, Q da circunferência. Tal cónica única coincide com a circunferência inicialmente definida euclideanamente. por serem ângulos do mesma segmento XA, XPA=XQA (prop 21, livro 3 dos Elementos de Euclides)

H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994