Numa entrada Definição projetiva de cónicas, de Setembro de 2012, já abordámos a definição de uma cónica como lugar geométrico dos pontos de interseção das retas correspondentes em dois feixes projetivos, mas não perspetivos. Nas entradas posteriores, definimos cada cónica como o lugar geométrico dos pontos auto-conjugados (ou retas auto-conjugadas) numa dada polaridade (seguindo Von Staudt, escreve Coxeter)
O enunciado do provado Teorema de Steiner garante que
Sendo x e y retas a passar por pontos de uma cónica, R comum, variável, e outros dois fixos P e Q (x=PR e y=RQ), x e y são projetivas que é o mesmo que dizer que,
se para uma dada polaridade (ABC)(Pp) em que ABC é o triângulo auto-polar diagonal de quadrângulo de que se conhecem três vértices P, Q, R auto-conjugados (da cónica) os feixes das retas x=PR e y=QR (R variável) são projetivos.
O procedimento alternativo á definição de cónica como polaridade hiperbólica (com pontos auto-conjugados) é: Sejam os feixes de retas variáveis x e y passando por P e Q (fixos) projetivos mas não perspetivos. O lugar geométrico dos pontos x.y é uma cónica que passa por P e por Q.
Se pela projetividade entre os feixes for pdx →dqy, em que d=PQ, então p e q são as tangentes em P e Q.
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Se a projetividade x→y não é uma perpetividade, a reta d=PQ não é transformada em si mesma. Por isso, há obrigatoriamente duas retas p e q que a projetividade relaciona com d, assim: p→d e d→q. Como sabemos há uma única cónica a passar por PQ e x.y=R e tal que p e q são tangentes.