Richter-Gebert chama a atenção para a beleza e interesse de um Teorema atribuído a Armin Saam que aqui apresentamos em duas ilustrações dinâmicas. Trata-se de invariâncias para um esquema cíclico de perspetividades... Na nossa construção tomamos 5 retas {ri, i=1,2,3,4,5} inicidindo todas no ponto O e sobre cada ri (a negro) marcamos um ponto Pi (em castanho) que utilizaremos como centro de perspetividade.
A figura é bem elucidativa do que fizemos:
Começamos por tomar A1 (verde) sobre r1. Para obter A2 sobre r2 como imagem de A1 pela perspetividade de centro P4: {A2}= A1P4.r2. E, sucessivamente, {A3}=A2P5.r3, {A4}=A3P1.r4, {A5}=A4P2.r5 até {A6}=A5P3.r1.
O mais natural é que A1 não coincida com A6. Quando A1 se desloca sobre r1 aproximando-se de O, A2 afasta-se de O, A3 aproxima-se de O, etc. Alternativamente, os pontos Ai, de ordem par ou ímpar, aproximam-se ou afastam-se de O.
Em particular, A6 move-se sobre r1 no sentido contrário ao movimento de A1 e é, portanto, de esperar que haja uma posição C em que A1 e A6 coincidem.
Essa posição C pode ser determinada como conjugado harmónico de O relativamente a A1 e A6, ou seja (A1, A6; C, O) é um quaterno harmónico, que se mantém invariante quando A1 se desloca sobre A1. Isso está ilustrado na figura.
Nesta configuração de um número ímpar n de retas passando por um porto comum O, considerando o transformado An+1 de A1 pela composição cíclica de perspetividades (esquema da figura), acontece que
An+1=A1 numa posição C quando e só quando (A1,An+1; C, O)=-1,
como pode verificar quando desloca A1 sobre r1.


Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).



Seguindo
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry - A guided tour through real and complex geometry. Springer-Verlag. Berlin: 2011