Na última entrada, definimos razão simples de três pontos colineares sobre uma dada reta: (ABC)=AB/AC, sendo AB e BC segmentos orientados, e tomámos como abcissa (baricêntrica) de P relativamente a dois pontos fixos A e B a razão simples λ=(PAB)=PA/PB.
Ao tormarmos quatro pontos colineares A,B,C,D, consideramos a razão das razões simples de cada um dos dois primeiros A e B relativamente aos outros dois C e D, a que chamamos razão dupla:
k=(ABCD)=(ACD)/(BCD)= (AC/AD):(BC/BD)
Esta razão já foi abordada em várias ocasiões, chamando-lhe razão cruzada (a,b;c,d), por exemplo, tendo verificado que se mantém invariante por transformação projetiva. Aqui estamos a seguir Izquierdo Asensi para a introduzir como razão (dupla ou anarmónica) de razões simples. Já abordámos antes, que a um conjunto de quatros pontos {A, B, C, D} correspondem 24 quaternos ordenados distintos, mas só seis valores distintos para as razões duplas ou cruzadas associadas.
À semelhança do que fizémos para a razão simples, apresentamos uma construção com uma reta r e sobre ela três pontos A, B, C fixos e um ponto P variável, para "ver" que a cada posição X do ponto P corresponde um só valor da razão k=(XABC) e que a cada valor de k corresponde uma só posição X de P.
Assim, ao valor k associado à posição de P relativamente a A, B e C é natural que chamemos abcissa projetiva de P, chamando a A, B e C pontos de referência: unidade, origem e limite, por serem os pontos para os quais k é (AABC)=1, (BABC)=0 e (CABC)=∞ como pode "ver" deslocando P sobre a reta r
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Pode deslocar P manualmente (ou usando o controlador da animação).
Ao abrir esta entrada, o ponto P está numa posição tal que (PABC)=-1. Estas posições relativas e a respetiva razão foram sempre associadas à palavra harmónica. O primeiro par (P,A) separa ou divide harmonicamente o segundo par (B,C).
Richter-Gebert. Perpsectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004