problemas de extremos: 1 - Fagnano

Na sua Introdução à Geometria, Coxeter chama a atenção para os métodos de resolução de dois problemas de mínimos - Fagnano e Fermat - muito conhecidos e certamente já abordados em aulas e neste "lugar geométrico". O primeiro deles foi proposto em 1775 por J.F. Toschi di Fagnano que o resolveu recorrendo ao cálculo diferencial. Nesse livro, Coxeter aborda o método utilizado por L. Fejér.
Problema de Fagnano:
Num dado triângulo acutângulo $\;ABC,\;$ inscrever um triângulo $\;DEF\;$ cujo perímetro seja tão pequeno quanto possível.
1 A resolução de Fejér recorre a reflexões axiais e resultados muito simples
Consideremos um triângulo $\;DEF\;$ inscrito em $\;ABC:\;$ com $\;D\;$ a incidir em $\;BC,\;\;\; E\;$ em $\;CA\;$ e $\;F\;$ em $\;AB\;$. O seu perímetro será $\;DE+EF+FD.\;$
Para um dado $\;D\;$ sobre $\;BC,\;$ tomando as imagens $\;D'\,$ e $\;D''\;$ pela reflexão relativamente a $\;CA\;$ e a $\;AB,\;$ respetivamente. Por ser $\;CA\;$ a mediatriz de $\;DD', \;\; DE=ED'.\;$ E, pela mesma razão, $\;DF=FD''.\;$ Por isso, podemos dizer que o perímetro de $\;DEF\;$ é $\;DE+EF+FD = D'E+EF+FD''.\;$
Ora sabemos que, para cada $\;D,\;$ o triângulo $\;DEF\;$ de menor perímetro acontece quando $\;D',\; E,\; F,\; D''\;$ são colineares. Ou seja, para um dado $\;D\;$ o triângulo de perímetro mínimo pode ser determinado por $\;D'\;$ e $\;D'':\; E\;$ na intersecção de $\;D'D''\;$ com $\;CA; \;F\;$ na intersecção de $\;DD'\;$ com $\;AB.\;$
Deste modo, obtemos um triângulo $\;DEF,\;$ de perímetro mínimo, para cada escolha de $\;D\;$ sobre $\;BC.\;$


© geometrias. 4 julho 2016, Criado com GeoGebra


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O problema ficará resolvido determinando o ponto $\;D\;$ sobre $\;BC\;$ que minimize $\;D'D''\;$ que já sabemos ser igual ao perímetro de $\;DEF. \;$
Consideremos, pois, esse triângulo $\;DEF,\;$ de perímetro mínimo para uma dada posição de $\;D.\;$ Sabemos que $\;AD'\;$ e $\;AD''\;$ são imagens de $\;AD\;$ pelas reflexões de eixos $\;AC\;$ e $\;AB,\;$ sendo por isso congruentes ($\;AD'= AD''\;$) e é $\; \angle D'\hat{A}D''= 2. \angle B\hat{A}C\;$
$\;D'AD''\;$ é um triângulo isósceles cujo ângulo é independente da posição de $\;D.\;$ No triângulo isósceles $\;D'AD''\;$ a base $\;D'D''\;$ é mínima quando são mínimos os lados iguais $\;AD'\;$ e $\;AD''\;$ o que é o mesmo que dizer quando $\;AD\;$ é mínimo. Como a hipotenusa de um triângulo $\;ADH_a,\;$ retângulo em $\;H_a,\;$ é sempre maior que qualquer dos catetos, logo $\;AD > AH_a.\;$
Ou seja, $\;AD\;$ é mínimo quando $\;D\;$ está na posição $\;H_a\;$ (pé da altura do triângulo $\;ABC\;$).

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Seguindo o mesmo raciocínio se provaria que para um dado ponto $\;E\;$ de $\;CA\;$, o triângulo inscrito em $\;ABC\;$ de vértice $\;E\;$ sobre $\;CA\;$ tem perímetro mínimo quando $\;BE\;$ é mínimo, ou seja quando E está na posição de $\;H_b.\;$
Ou $\;FDE\;$ inscrito em $\;CAB\;$, sendo $\;F \in BA\;$ tem perímetro mínimo quando $\;CF=CH_c\;$
O triângulo de perímetro mínimo inscrito em um triângulo acutângulo $\;ABC\;$ é o triângulo órtico (ou pedal) de $\;ABC\;$.


  1. Coxeter. Real Projective Plane University Press. Cambridge; 1961
  2. Coxeter. Introduction to Geometry John Wiley and Sons, Inc. New York: 1961