Na última entrada, ao fazer a demonstração do Teorema de Steiner, tomámos 3 pontos sobre uma cónica - dois fixos P e Q e um outro variável R. E tomámos uma reta c a passar por D polo de uma reta PQ para polaridade associada à cónica da qual P e Q são pontos (auto-conjugados, portanto): Para uma dada posição de R, tomamos C=RD.PQ e a reta c=AB,em que A=RQ.c e B=RP.c e de tal modo que ABC seja o triângulo diagonal de um quadrângulo PQRS, ou seja, em que S=AP.BQ, convenientemente.
O ponto C1=c.PQ é o polo da reta CD, e é o conjugado harmónico de C relativamente a P e Q. Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Se não tivéssemos dado a cónica, mas, só os pontos P,Q, R e D, podíamos ter construído C=PQ.RD e o seu conjugado harmónico C1. A reta c ficaria determinada como c=C1 que nos daria A=c.RQ e B=c.RP e ficaria assim determinada uma cónica que pode ser descrita como ser descrita como o lugar geométrico dos pontos auto-conjugados (ou a envolvente das retas autoconjugadas) na polaridade (ABC)(Pp) em que p=PD (ou (ABC)(Qq) em que q=QD)
E podemos assim concluir: Uma cónica fica determinada por 3 dos seus pontos e pelas tangentes em dois deles.