E como é que se determina a polar de um ponto auto-conjugado para uma dada polaridade? Ou, dito de outro modo, como é que se determina a tangente (polar) a uma cónica de que conhecemos o ponto de tangência (seu polo)?
Consideremos a cónica (vermelha) e sobre ela um ponto (negro) P.
1. Tracemos uma secante à cónica que passe por P, seja PQ.
2. O polo de PQ será o ponto de intersecção p.q, em que p é a polar de P e q a polar de Q ( p e q serão tangentes à cónica em P e Q, respetivamente)
3. Como se determina o polo p.q de PQ? Tome-se um quadrilátero PQRS inscrito na cónica que terá um ponto diagonal C sobre PQ. Deste quadrilátero, o triângulo ABC autopolar, em que a polar de C é c=AB. Tome-se também um outro ponto de PQ, C1, e por ele duas secantes à conica R1S1 e P1Q1. P1Q1R1S1 é um quadrilátero inscrito na cónica sendo A1B1C1 o seu triângulo diagonal, auto-polar. A polar de C1 é c1= A1B1. PQ=CC1 tem polo p.q=c.c1.
4. A tangente à cónica, p, em P será a reta que passa por c.c1 e por P.
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