Na entrada anterior, tratámos da definição projetiva de cónicas com recurso às perspetividades e projetividades entre pontuais e entre feixes. Ocupar-nos-emos agora de uma outra abordagem da cónica; usando polaridades - correspondências que, associando a cada ponto A uma só reta a, fazem corresponder à reta a o ponto A, caso particular de correlação projetiva.
Algumas notas sobre polaridades já abordadas antes:
Uma polaridade com pontos auto-conjugados também admite obviamente retas autoconjugadas. E pode ficar bem descrita simbolicamente por (ABC)(Pp), sendo P incidente em p.
A existência de um tal ponto P auto-conjugado basta, já que a sua existência garante que, para além dele, em cada reta diferente de p que passa por P há um outro ponto auto-conjugado.
Como sabemos o único ponto auto-conjugado de uma reta auto-conjugada é o seu polo (que é único). Dualmente, a única reta auto-conjugada a passar por um ponto P auto-conjugado é a sua polar p (única). Sobre qualquer reta, não seja p, tirada por P, é induzida uma involução de pontos conjugados. Por esta involução, essa reta que tem P como ponto invariante (duplo), terá um segundo ponto invariante Q, o qual é um outro ponto auto-conjugado da polaridade.
Quer isto dizer, que a existência de um ponto auto-conjugado para uma dada polaridade implica a existência de muitos pontos auto-conjugados. Ao lugar geométrico dos pontos auto-conjugados numa dada polaridade chamamos cónica. E às polares dos pontos auto-conjugados chamaremos tangentes à cónica. Fica assim estabelecida uma definição de cónica como figura auto-dual: lugar geométrico dos pontos auto-conjugados de uma polaridade e envolvente das retas auto-conjugadas .
E, a partir de agora, consideramos que falar de uma cónica é o mesmo que falar da polaridade associada,se falamos de polo (ou polar) pode ser e é no sentido de polo (ou polar) relativamente a uma cónica, e, em vez de conjugado para a polaridade, conjugado relativamente a cónica. Uma tangente tem um só ponto (o seu polo) em comum com a cónica, chamado ponto de contato ou de tangência. Qualquer outra reta é secante ou não secante conforme corte a cónica em dois pontos ou não corte, isto é, conforme a involução de pontos conjugados tem ou não pontos invariantes.