Pela polaridade (ABC)(Pp), a polar de um ponto X (não inicdente em AP, BP ou p) é uma reta X1X2 assim determinada
A1=a.PX,   P1=p.AX,   X1=AP.A1P1
B2=b.PX,   P2=p.BX,   X2=BP.B2P2
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Apliquemos o teorema de Chasles ao triângulo PAX. Como ABC é autopolar, a polar de A é a. Chamemos x à polar de X.
Os seus lados AX, XP e PA encontram as polares p, a, x dos seus vértices em 3 pontos colineares: P1=AX.p, A1=XP.a e PA.x.
X1= P1 A1. PA é um dos pontos em que incidirá a polar x de X.
De modo análogo, aplicando o teorema de Chasles a PBX, determinamos um outro ponto da polar x de X, X2=(BX.p)(XP.b).PB

Esta construção falha quando X for um ponto de AP, pois então A1P1=AP e X1 fica indeterminado. Mas X2 pode ser determinado e a polar de X é ApX2 em que Ap=a.p. De modo análogo, quando X estiver em BP, a sua polar é BpX1
Para determinar a polar de um ponto X de p, podemos aplicar uma construção dual da que temos vindo a utilizar para determinar o polo Y de uma reta y que passe por X. Esta reta y pode ser qualquer exceto p ou PX (o mais conveniente é escolher y=AX ou, caso aconteça que esta coincida com PX, escolha-se y=BX). E a polar de X é x=PY.
Para qualquer ponto X, não incidente em AP, BP ou p a sua polar (pela polaridade (ABC)(Pp) é
x=[AP.(a.PX)(p.AX)][BP.(b.PX)(p.BX)]
Um exercício interessante pode ser escrever a expressão (dual da anterior) para o polo X de uma reta x que não passe por Ap, Bp ou P e desenhar a figura que ilustre esta construção dual.