Uma polaridade é uma correlação que transforma um ponto A numa reta a' e transforma esta em A, preservando a incidência.
Dado um triângulo qualquer de vértices A,B,C e lados a=BC, b=AC e c=AB, podemos obter um novo triângulo (polar do anterior) em que a', b' e c' sejam as polares de A, B, C respetivamente (ou em que A', B' e C' sejam os polos de a, b e c respetivamente).
É claro que, sendo A→a'→A; B→b'→B e C→c'→C; A'B'C'→ABC e a'b'c' →abc são projetividades.

Chasles demonstrou que se ABC e A'B'C' (ou abc e a'b'c') são triângulos distintos e polares um do outro, então são perspetivos.
Dito de outro modo, se as polares a',b', c' dos vértices de um triângulo ABC não coincidem com os seus lados opostos a, b, c, então a.a', b.b', c.c' são pontos colineares.
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Seja ABC um triângulo de lados BC=a, AC=b e AC=c. E sejam a', b' e c' as polares de A, B e C. Se a' distinta de a, b' distinta de b e c' distinta de c, estes pares de retas intersetam-se: A1=a.a', B1=b.b' e C1=c.c' Podemos determinar as polares destes pontos, só considerando a incidência preservada. Por exemplo, como C1=c.c'=AB.c', a polar de C1 é (a'.b')C=r.
Para o ponto P=c.b'=AB.b' a sua polar é (a'.b')B=p. Consideremos ainda o ponto a.b'=BC.b'=R. Como já vimos, há uma projetividade que transforma qualquer pontual C1APB em AC1BP e, pela polaridade, AC1BP transforma-se em a'rb'p que, por sua vez, se transforma em A1CRB (secção do feixe a'rb'p pela reta a).
Como a projetividade C1APB → A1CRB tem um ponto invariante B, a projetividade C1AP→A1CR é uma perspetividade. O centro da perspetividade B1 = AC.PR e, por isso, A1C1 incide em B1. Fica assim provado que A1, B1 e C1 são colineares.
Isto não funciona se A1 ou B incidirem em b'.