Na anterior entrada provou-se a polaridade (ABC)(Pp) em que ABC é um triângulo autopolar e em que p é uma reta que não passa por P nem por A, B ou C. Vamos determinar a polar de um ponto X qualquer não incidente em c nem em CPc\{P}. Sejam A→a, B→b,C→c, P→ p os pares que definem a polaridade. A partir de P, determinámos Pa=a.AP, Pb=b.BP e Pc=c.CP. De modo análogo, a partir de X, determinamos Xa=a.AX, Xb=b.BX, Xc=c.CX. Sendo p a polar de P, determinámos Ap=a.p, Bp=b.p e Cp=c.p.
Para determinar a polar de X pela polaridade (ABC)(Pp), temos de determinar dois dos seus pontos Ax=a.x, Bx=b.x e Cx=c.x, pelas projetividades (BC)(PaAp), (AC)(PbBp) e (AB)(PcCp) aplicadas respetivamente a Xa, Xb e Xc. Determinamos x=AxBx.
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
A construção apresenta a determinação de dois deles, Bx e Ax, descrevendo a construção de Bx.
Pela projetividade (AC)(BpPb), determinar Bx como transformada de Xb :
a) A projetividade (AC)(BpPb) é tal que A→C →A e Bp→Pb→Bp que pode ser descrita como uma sequência de perspetividades, de centros Q, A e R assinalados na "figura" dinâmica. Tomamos um ponto R qualquer não incidente na reta b=AC e as retas AR, CR, BpR. Em seguida tomamos uma reta que corta AR em T, BpR em W e CR em Q. E finalmente a reta AQ que corta BpR em Z.
ACBpPbQZRBpW→AQTPbW→RCAPbBp

b) Para determinar Bx como imagem de Xb por (AC)(BpPb), sobre a construção desta tomamos a reta XbT e a reta CW que se intersetam em G. A reta RG interseta b em Bx. Chamamos E a CG.RA e a XbT.CR chamamos F.
Confirmemos a projetividade (PbBp)(XbBx).
Para isso, traçamos a reta XbW que interseta RPb em F e RBx em Y e tomamos o ponto RBx.PbW=P0
PbBpXbBxWP0RYBxPbWFYXbRBpPbBxXb

Do mesmo modo, se procedeu para determinar Ax e se procederia para verificar que (XaAx)(PaAp).
A polar de X é assim obtida x=AxBx.
Poe deslocar o ponto X, bem como outros, para verificar que esta construção não falha para X a coincidir com P, a incidir em AP ou em BP, mas falha para pontos X≠P sobre CP e sobre c=AB. Apresentaremos um processo geral para determinar a polar de um ponto X na polaridade (ABC)(Pp) em que p é a polar de P não incidente em P.