Mais do que uma vez, introduzimos ligações entre as palavras polar, polo e triângulos, de que são exemplos os artigos Polar trilinear de um ponto, Polar trilinear , Da polar trilinear para o pólo , etc. Polaridade trilinear pode já ter sido expressão utilizada. Essas expressões e, em particular, a polaridade trilinear introduzida não é uma polaridade, no sentido de que não é uma correlação projetiva que faz corresponder a cada ponto (reta) uma só reta (ponto), tal que se X tem por polar x, x tem por polo X e preservando a incidência.
Vamos agora provar que
Qualquer correlação projetiva que relacione cada um dos três vértices de um triângulo com o seu lado oposto é uma polaridade
Considere-se a correlação ABCP→abcp, em que a, b, c são os lados de um triângulo ABC e P é um ponto distinto dos vértices do triângulo. E seja p uma reta que não passa por qualquer dos vértices do triângulo.
O ponto P e a reta p determinam 6 pontos sobre os lados do triângulo
Pa=a.AP, Pb=b.BP, Pc=c.CP, Ap=a.p, Bp=b.p, Cp=c.p
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
A correlação, transformando A,B,C em a,b,c, transforma a=BC em b.c=A, b=AC em a.c=B, c=AB em a.b=C, AP em a.p=Ap, BP em b.p=Bp, CP em c.p=Cp.
Claro que transforma o triângulo (cada vértice no lado oposto, cada lado no vértice oposto) como uma polaridade.
Falta ver que, para além de transformar P em p, também transforma p em P.
A correlação transforma cada ponto X de c numa certa reta que interseta c em Y. Como se trata de uma correlação projetiva, X e Y são projetivos. Quando X é A, Y é B e quando X é B, Y é A. Dito de outro modo a correlação transforma A em B e B em A. Já que a correlação transforma Pc=c.CP em CCp, como vimos para A e B, Pc→Cp e Cp→Pc. A correlação transforma ainda Cp=c.p em CPc=CP. E do mesmo modo, a correlação transforma Ap=a.p em AP e Bp=b.p em BP. Finalmente, podemos concluir que esta correlação transforma p=ApBp=(a.p)(b.p) em AP.BP=P.

Ficou assim provado que a correlação ABCP→abcp é uma polaridade. De futuro, esta polaridade assim definida pode ser representada por (ABC)(Pp)